Bestimmen Sie die Menge aller Zahlen x ∈ R , |x + 1| > |x − 2|

Question

Bestimmen Sie die Menge aller Zahlen x ∈ R, welche die folgende Ungleichung erfüllen.

b) |x + 1| > |x − 2|

Hier bedeutet

|x| = {  x : x ≥ 0
         −x : x < 0 .
.

Answer 1

|x + 1| > |x − 2|

Fall 1: x <= -1
-(x + 1) > -(x − 2)
-x - 1 > -x + 2
-1 > 2 → Keine Lösung

Fall 2: -1 <= x <= 2
(x + 1) > -(x - 2)
x + 1 > -x + 2
2x > 1 → 1/2 < x <= 2

Fall 3: x >= 2
(x + 1) > (x - 2)
x + 1 > x - 2
1 > -2 --> x >= 2

Lösung: x > 1/2

Answer 2

Die Ungleichung

|x + 1| > |x − 2|

beschreibt alle Zahlen, die auf der reellen Zahlengeraden von (-1) weiter entfernt sind als von (+2). Das sind genau die Zahlen, die die rechts vom arithmetische Mittel von (-1) und (+2) liegen, also größer als ((-1)+(+2))/2=1/2 sind.

Fallunterscheidungen sind nicht notwendig.