Berechne Wurzel(-6+6i)

Question

Aufgabe:

  \( \sqrt{-6+6i} \)

ich bin jetzt an dem schritt 6\( \sqrt{2} \) (cos (\( \frac{3pi}{4} \) ) + i sin (\( \frac{3pi}{4} \) )

wie soll ich jetzt weiter rechnen damit die aufgabe gelöst ist? Was mache ich als nächstes?

Answer 1

Was mache ich als nächstes ?

Ziehe die Wurzel aus dem Betrag und halbiere den Winkel

So erhältst du die beiden Wurzeln

√z = ± √(6*√2) * ( cos(3pi/8)+i*sin(3pi/8) )

Comments

wieso muss ich die wurzel ziehen ?

danke !

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Weil der Betrag der Wurzel die Wurzel aus dem Betrag

des Radikanden ist.

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wieso muss ich die wurzel ziehen ?

Dürfen wir dich an deine Fragestellung erinnern:

Berechne wuezel (-6+6i

(Aber vielleicht sollst du ja statt der Wurzel wirklich die wuezel ziehen...)

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woher weiß ich das ich den winkel halbieren muss ?

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Möglicherweise weißt du es nicht, damit ist die Frage nach "woher" gegenstandslos. Aber vielleicht weißt du ja doch, dass man beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen die Winkel addieren muss.

Daraus folgt, dass man beim Quadrieren den Winkel verdoppeln muss. Beim Wurzelziehen sucht man nun die Zahl, die man zum Erreichen eines bestimmten Ergebnisses quadrieren muss (man sucht also eine Zahl mit halb so großem Winkel).

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stimmt, vielen dank !!

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@mathef: nicht ± in Zeile 4, nur +.

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woher weiß ich das ich den winkel halbieren muss ?

Jede komplexe Zahl \(z\), kann in der Form $$z = r \cdot e^{i \varphi}, \quad |z| = r, \space \arg(z) = \varphi$$ dargestellt werden. Zieht man die Wurzel, so wird daraus rein formal$$\sqrt z = \sqrt{r} \cdot \sqrt{e^{i \varphi}} =  \sqrt{r} \cdot {\left(e^{i \varphi}\right)}^{1/2} = \sqrt r \cdot e^{i {\varphi/2}} \\ \implies |\sqrt z| = \sqrt r, \quad \arg(\sqrt z) = \frac \varphi 2$$

Answer 2

Hallo,

setze:

cos((3 Pi)/4) =  -1/√2

sin((3 Pi)/4)  =  1/√2

dann bekommst Du die arithmetische Form , falls die Aufgabe so lautet.

Answer 3

zu -6+6i gehört der Winkel (3/4)π.

zu √(-6+6i) gehört der halbe Winkel, also (3/8)π.  *)

I -6+6i I = √72

I √(-6+6i) I = \( \sqrt[4]{72} \)

Damit √(-6+6i) = \( \sqrt[4]{72} \) * (cos((3/8)π +i*sin(3/8)π )

nicht: ± ... wie oben in der Lösung!

*): zu \( e^{iφ} \) gehört der Winkel φ.

zu \( e^{i2φ} \) gehört der Winkel 2φ.
zu \( e^{i3φ} \) gehört der Winkel 3φ.

zu \( e^{i0,5φ} \)= (\( e^{iφ} \) )^0,5= √ \( e^{iφ} \)   gehört der Winkel 0,5φ.

Comments

danke sehr !