Trigonometrie Einbahn

Question

Aufgabe:

Drei Punkte ABC liegen auf einem geradlinigen Weg. Abseits des Weges, in der selben Horizontalebene, steht ein Turm. Von den drei PUnkten wird jeweils der Höhenwinkel zur Turmspitze gemessen. Außerdem kennt man die Entfernung der Punkte AB und BC.

Wie hoch ist der Turm?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir in rechtwinkeligen Dreiecken jeweils Längen über die Unbekannte x ausgedrückt und dann mit dem Cosinussatz weitergemacht. So komme ich auf drei Gleichungen mit drei Variablen, komme aber dann nicht mehr weiter.

Kann mir jemand seinen Lösungsansatz mitteilen? Danke

Comments

Hallo

1. braucht man die genauen Angaben.

2. zeig, was du bisher gerechnet hast.

Gruß lul

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@lul

1. braucht man die genauen Angaben.

Die braucht man nur, wenn sich jemand die Aufgabe einschließlich Ergebnis haarklein vorrechnen lassen will.

Wir haben hier aber einen Fragesteller aus der aussterbenden Gattung, die wirklich nur nach einem Lösungsansatz fragt:

Kann mir jemand seinen Lösungsansatz mitteilen?

 

Answer 1

Ich schätze mal, die Punkte liegen in der Reihenfolge A-B-C-T(urm).

Sei y der Abstand von C zum Turm (also die Länge von CT).

Dann gilt

tan(φ_c)=h:y

tan(φ_B)=h:(y+BC)

Das genügt bereits, den Höhenwinkel  φ_A von A aus brauchst du nicht.

Die einzigen Unbekannten in diesen beiden Gleichungen sind (bei bekannten Höhenwinkeln) h und y.

Löse das System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Comments

Nein, der Turm liegt eben nicht in einer Reihe mit ABC. Das ist das Problem für mich.

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"abseits des Weges!"

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Gut, habe ich leider überlesen. Dann also so:

tan(φ_c)=h:\( \sqrt{x^2+y^2} \)

tan(φ_B)=h:\( \sqrt{x^2+(y+BC)^2} \)

tan(φ_A)=h:\( \sqrt{x^2+(y+BC+AB)^2} \)

Das sind 3 Gleichungen mit den drei Unbekannten x, y und h.

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ach gott, ja klar- hab den wald vor lauter bäumen nicht gesehen. vielen dank!!!!

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mein Ansatz war folgender:

ich weiß nicht, wie ich dieses Gleichungssystem lösen soll, bzw. ist es einfach so aufwändig. Aber ist es an sich zielführend?

Text erkannt:

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\( I: \quad \overline{A B}^{2}=\left(\frac{x}{\log }\right)^{2}+\left(\frac{x}{\operatorname{la} 1}\right)^{2}-2 \cdot \frac{x^{2}}{\operatorname{las} \cdot \log _{2} 5} \cdot \cos \left(\gamma_{2}\right) \)
\( \bar{u}: \overline{B C}^{2}=\left(\frac{x}{\log _{n} A}\right)^{2}+\left(\frac{x}{\log _{n}}\right)^{2}-2 \cdot \frac{x^{2}}{\operatorname{lad} \cdot \log \gamma} \cdot \cos \left(\gamma_{2}\right) \)
\( \mathbb{I}: \mathbb{A C}^{2}=\left(\frac{x}{\log }\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{k_{Y}}\right)^{2}-2 \cdot \frac{x^{2}}{\ln \left(x \cdot \log _{8}\right)} \cdot\left(\cos \left(x_{1}-\gamma_{2}\right)\right) \)

Answer 2

Hallo,

ich weiß nicht, wie ich dieses Gleichungssystem lösen soll

durch geschicktes Substituieren. Ausgehend von $$\tan \varphi_A = \frac{h}{\sqrt{(|AC|+y)^2 + x^2}} \\ \tan \varphi_B = \frac{h}{\sqrt{(|BC|+y)^2 + x^2}} \\ \tan \varphi_C = \frac{h}{\sqrt{y^2 + x^2}} \\ (|AC|+y)^2 + x^2 = \frac{h^2}{ \tan^2 \varphi_A} \\ (|BC|+y)^2 + x^2 = \frac{h^2}{ \tan^2 \varphi_B} \\ y^2 + x^2 = \frac{h^2}{ \tan^2 \varphi_C}$$Substituiere$$u = y^2+x^2, \quad v = h^2$$und dann verbleibt $$|AC|^2 + 2|AC|y + u = \frac{v}{ \tan^2 \varphi_A} \\ |BC|^2 + 2|BC|y + u = \frac{v}{ \tan^2 \varphi_B} \\ u = \frac{v}{ \tan^2 \varphi_C} $$Das ist ein lineares Gleichungssystem$$\begin{pmatrix} 2|AC| & 1& -1/\tan^2 \varphi_A \\ 2|BC| & 1& -1/\tan^2\varphi_B \\ 0& 1& -1/\tan^2 \varphi_C \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y\\u\\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -|AC|^2 \\ -|BC|^2\\ 0 \end{pmatrix}$$was man sicher lösen kann. \(x\) und \(h\) zu berechnen, sollte anschließend kein Problem mehr sein.

Comments

Antwort korrigiert. Das \(\tan^2\) gehört in den Nenner ...

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Ich glaube er wollte wissen, wie er SEIN umständlicheres Gleichungssystem hätte lösen können.