Punkt bestimmen, sodass ein Viereck ein Trapez ist

Question

Hallo :) Ich habe die Punkte A 3|3|0 B 6|5|0 und D 4|6|0. nun soll ich den Punkt C so bestimmen, dass ABCD ein Trapez ist (aber kein Parallelogramm)

Ich würde erstmal die Vektoren bestimmen:

AB= 3 2 0 BC= ? CD=? DA= -1 -3 0

nun scheitere ich schon, da ich nicht weiß, wie groß BC und CD sind, da ich C überhaupt nicht habe...

Kann mir jemand helfen, weiter zu kommen?

:)

Answer 1

Aloha :)

Ein Trapez ist ein ebenes Viereck mit zwei parallel zueinander liegenden Seiten. Es gibt daher nicht die eine Lösung für dein Problem, sondern unendlich viele Lösungen. Du kannst entweder an den Punkt \(D\) ein Vielfaches des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) anlegen oder an den Punkt \(B\) ein Vielfaches des Vektors \(\overrightarrow{AD}\).

$$\vec c=\vec d+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}=\vec d+\lambda\cdot\left(\vec b-\vec a\right)\quad;\quad \lambda\ne0\;;\;\lambda\ne1$$$$\vec c=\vec b+\mu\cdot\overrightarrow{AD}=\vec b+\mu\cdot\left(\vec d-\vec a\right)\quad;\quad \mu\ne0\;;\;\lambda\ne1$$Für die Parameter muss \(\lambda,\mu\ne0\) gelten, weil du sonst nur ein Dreieck hättest. Außerdem müssen die Parameter \(\lambda,\mu\ne1\) sein, weil du sonst ein Parallelogramm hättest (was ja nach Aufgabenstellung ausgeschlossen werden soll).

Comments

hallo...was bedeutet λ bzw. μ ? Ich hatte die noch nie in Mathe...:D

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Das sind einfach zwei Variablen, also Zahlen, die du frei wählen kannst. Du kannst sie auch \(s\) und \(t\) oder \(Ernie\) und \(Bert\) nennen ;)

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okay also wenn ich den Vektor AB nehme, habe ich 3 2 0. Dann muss CD z.B. 6 4 0 sein, richtig? dadurch, dass D 4 6 0 ist, ist 4-x=6 => x=-2 ; y=2 u. z= 0. also wäre C (-2|2|0). Stimmt es?
denn dann hätte ich wieder CD als Probe: -4-2 6-2 u 0.0 also 6 4 0 als Vektor

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Die Ecken des Vierecks werden im Gegenuhrzeigersinn mit A, B, C und D beschriftet. Daher liegt der Punkt B rechts von A und der Punkt C rechts von D. Deine Überlegungen sind soweit richtig:$$\vec d=\left(\begin{array}{c}4\\6\\0\end{array}\right)\quad;\quad\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)$$Du hast \(\lambda=2\) gewählt, d.h.$$\overrightarrow{DC}=2\cdot\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\4\\0\end{array}\right)$$Dann müsste eigentlich herauskommen:$$\vec c=\left(\begin{array}{c}4\\6\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\4\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\10\\0\end{array}\right)$$Du hast gerechnet:$$\vec c=\left(\begin{array}{c}4\\6\\0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\4\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\2\\0\end{array}\right)$$Das ist auch korrekt (entspricht der Wahl \(\lambda=-2\)), aber prüf bitte nochmal, ob die Bezeichnung deiner Eckpunkte im Gegenuhrzeigersinn verläuft.

Answer 2

So sieht das aus (die z-Koordinate ist überall 0):

\( \vec{AB} \) =\( \begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix} \)

Gehe von C um einen Vektor zum Beispiel

-\( \frac{1}{2} \) \( \vec{AB} \)=\( \begin{pmatrix} -1,5\\-1\\0 \end{pmatrix} \) zu D.

Comments

geht es auch irgendwie rechnerisch, oder muss man es zeichnen?

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Ja, den Vektor \( \vec{AB} \) hattest du ja bereits ausgerechnet. Jetzt gehst du von C aus ein Stück weit in die Gegenrichung von \( \vec{AB} \) (aber nicht genau \( \vec{AB} \), damit es kein Trapez wird).