Ermitteln der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X tabellarisch und graphisch

Question

Hallo, war ein paar Tage aufgrund von Krankheit nicht mehr beim Mathe-Unterricht dabei. Da wir morgen einen Test schreiben möchte ich lernen, versage aber schon bei der ersten Übungsaufgabe. :(

Aufgabe:

In einem Karton mit 8 Glühlampen befinden sich 2 defekte. Dem Karton werden zufällig 3 Glühlampen entnommen. X sei die Zufallsvariable, die die Anzahl der defekten Lampen angibt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stellen Sie diese tabellarisch und graphisch dar.

Problem/Ansatz:

Also ich habe mit einem Baumdiagramm angefangen, und weiß nicht welche Daten ich nach dem 1. Pfad eintragen soll. Es gibt vermutlich 3. Pfade. Jedoch verstehe ich dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht und wie ich diese wirklich tabellarisch darstellen soll. Ich hoffe jemand kann mir helfen, Lg

Answer 1

Hallo,

zuerst einmal musst Du überlegen, welche Werte das X annehmen kann, dann musst die Wahrscheinlichkeit für jedes X ermitteln.
Rechne die Wahrscheinlichkeiten (Pfade) dann so, als würdest Du eine Lampe nach der anderen ziehen; dann musst Du noch überlegen, wie oft die errechnete "Konstellation" vorkommen kann...
Um z. B. eine defekte Lampe zu ziehen, gibt es die drei Konstellationen (g=ganz; k=kaputt): ggk, gkg, kgg.

LG

Comments

Danke für die Antwort. Also ich habe mich mal heranversucht und habe dann erstmal die Wahrscheinichkeiten dafür ausgerechnet wenn nur eine Birne kaputt ist. Wie gesagt, ggk; gkg; kgg. Diese hatten jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 0,128. Muss man nun diese 3 Möglichkeiten zusammen rechnen um auf das Ergebnis zu kommen wie hoch die Chance ist eine kaputte Glühbirne bei 3 Zügen zu ziehen? Da käme nämlich 0,384 raus.

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genau 1 defekte:

P(X=1)= 2/8*6/7*5/6*(3über1) = 0,536

mindestenst 1 defekte:

P(X>=1)= 1-P(X=0) = 1- 6/8*5/7*4/6* = 0,357

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Genau das habe ich nicht verstanden. Wie kommt man auf die Bildung dieser Formel? Habe zuvor schon nach Aufgaben die so ähnlich snd wie meine gesucht, leider habe ich nie verstanden wie man auf diese Formel kam.

Answer 2

Dein Baumdiagramm muss drei Stufen für jede gezogene Lampe haben. Dabei gibt es meistens zwei Möglichkeiten, nämlich defekt oder heil. Wenn die zwei defekten schon gezogen wurden, ist die dritte auf jeden Fall heil. Notiere die einzelnen Wahrscheinlichkeiten und rechne dann nach der Pfadregel.

X=0 heißt 3 heile werden gezogen. Die erste mit 6/8 Wahrscheinlichkeit, die zweite mit 5/7 und die dritte mit 4/6. Es wird immer 1 weniger im Zähler und Nenner, da die Lampen ja nicht zurückgelegt werden. Jetzt alle Zahlen multiplizieren und kürzen.

X=1: Eine defekte wird gezogen. Da es zwei sind muss der Zähler einmal 2 sein. Dann werden noch 2 heile gezogen. Deren Zähler müssen 6 und 5 sein, da am Anfang 6 heile und dann 5 vorhanden sind. Es gibt aber für die defekte 3 Möglichkeiten; sie kann als erste, zweite oder dritte gezogen werden. Deshalb ist

$$ P(X=1)=3\cdot\frac{2\cdot6\cdot5}{8\cdot7\cdot6} $$

X=2 bekommst du jetzt bestimmt selbst heraus.

k	0	1	2
P(X=k)	120/336 =5/14	180/336 =15/28	36/336 =3/28