Meine ersten Überlegungen:
(Richtige Lösung am Ende, jetzt mit Begründung.)
Drei der Klammerterme müssen gleich Null sein.
(x+y-1)^2+(x+z-1)^2+(y-z-1)^2+(x+2y+2z-1)^2
Ich versuche es mit den ersten drei Termen.
x+y-1=0 (1)
x+z-1=0 (2)
y-z-1=0 (3)
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(2)+(3)
x+y-2=0
Das widerspricht der Gleichung (1)
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Versuchen wir es mit den ersten beiden und dem letzten:
x+y-1=0 (1)
x+z-1=0 (2)
x+2y+2z-1=0 (3)
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Aus (1) und (2) folgt y=z
x+y-1=0 (1)
x+4y-1=0 (3)
Daraus folgt y=0, also z=0, x=1
Damit wird
(x+y-1)^2+(x+z-1)^2+(y-z-1)^2+(x+2y+2z-1)^2
zu 0+0+1+0=1
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Nach abakus' Hinweis habe ich wolframalpha befragt:
\( \min \left\{(x+y-1)^{2}+(x+z-1)^{2}+(y-z-1)^{2}+(x+2 y+2 z-1)^{2}\right\}=\frac{1}{3} \) at \( (x, y, z)= \left(1, \frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right) \)
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Und so geht es:
Du musst die partiellen Ableitungen nach x, y und z gleich 0 setzen. Dann bekommst du drei Gleichungen mit drei Variablen. Die Lösungen stehen im vorigen Absatz.
\( f(x,y,z)=(x+2 y+2 z-1)^{2}+(x+y-1)^{2}+(x+z-1)^{2}+(y-z-1)^{2}\)
\( \frac{\partial f}{\partial x}=6x+6y+6z-6=0 \)
\( \frac{\partial f}{\partial y}=6 x+12 y+6 z-8 =0\)
\( \frac{\partial f}{\partial z}=6 x+6 y+12 z-4 =0\)
