Laplace Wahrscheinlichkeit, erhöhte Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei 100 Würfen mit einer Laplace-Münze zwischen 40- und 60-mal Kopf zu erzielen?

Nun sei aber die Münze derart gefälscht, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf auf 60% erhöht ist. Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit, bei 100 Würfen mehr als 60-mal Kopf zu erzielen?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Im ersten Fall hast du eine Binomialverteilung mit \(p=0,5\). Im zweiten Fall ist \(p=0,6\).

$$p_1=\sum\limits_{k=40}^{60}\binom{100}{k}\cdot0,5^k\cdot0,5^{100-k}=0,5^{100}\sum\limits_{k=40}^{60}\binom{100}{k}=0,9648$$$$p_2=\sum\limits_{k=61}^{100}\binom{100}{k}\cdot0,6^k\cdot0,4^{100-k}=0,4621$$

Comments

ich verstehe nicht ganz, wie Sie auf die Resultate kommen... könnten Sie mir diese Schritte noch erläutern?

---

Die Binomialverteilung$$\binom{100}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{100-k}$$gibt uns die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\)-mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) zu kriegen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist \(p=0,5\). Das ergibt dann die Formel$$\binom{100}{k}\cdot 0,5^k\cdot0,5^{100-k}=\binom{100}{k}\cdot0,5^{100}$$Die Potenzen können wir wegen der gleichen Basis zusammenfassen \(0,5^k\cdot0,5^{100-k}=0,5^{100}\). Im ersten Teil ist die Wahrscheinlichkeit gefragt, dass zwischen 40 und 60 Mal Kopf kommt. Deswegen müssen wir diese Wahrscheinlichkeiten alle für \(k=40,41,42,\ldots,60\) berechnen und addieren.

Im zweiten Fall ist \(p=0,6\) und es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mehr also 60-mal Kopf kommt. Wir müssen also die Binomialverteilung$$\binom{100}{k}\cdot 0,6^k\cdot0,4^{100-k}$$ für alle Werte \(k=61,62,\ldots,100\) berechnen und addieren.

---

vielen dank für die hilfe!