Integralrechnung zwischen zwei Flächen berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen sie den Inhalt der Fläche, welcher von der Funktion f(x)=2x^3-x und der x-Achse eingeschlossen wird.

Die Lösung dabei ist 1/4 FE

Problem/Ansatz:

Ich schreibe morgen eine Klausur und habe keinen blassen Schimmer, wäre lieb wenn mir wer einen kurzen Crashkurs geben würde

Bitte nicht nur die Rechnung sondern mit Erklärung zu den jeweiligen Schritten

Liebe Grüße

Comments

Es wäre vor allem sehr zweckdienlich wenn Du sehen würdest, warum man hier nichts "zwischen zwei Flächen berechnen" muss.

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion, die oberhalb der x-Achse verläuft, liefert positive Beiträge zum Integral. Eine Funktion, die unterhalb der x-Achse verläuft liefert negative Beiträge. Da hier nach der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse gefragt ist, musst du von Nullstelle zu Nullstelle das Integral bilden und die Beträge addieren.

Wir formen zunächst \(f(x)\) so um, dass wir die Nullstellen gut erkennen können:$$f(x)=2x^3-x=2x\left(x^2-\frac{1}{2}\right)=2x\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$Wir haben also 3 Nullstellen und erhalten 2 Integrale:$$F=\left|\;\int\limits_{-1/\sqrt2}^0\left(2x^3-x\right)dx\right|+\left|\int\limits_0^{1/\sqrt2}\left(2x^3-x\right)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1/\sqrt2}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^{1/\sqrt2}\right|$$$$\phantom{F}=\left|0-\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\right)\right|+\left|\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\right)-0\right|$$$$\phantom{F}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$$

~plot~ 2*x^3-x;{1|2} ; [[-1|1|-1|1]] ~plot~

Answer 2

Der Graph schneidet die x-Achse an drei Stellen,

bei  -0,5√2    bei 0 und bei 0,5√2.

Wegen der Symmetrie zum Nullpunkt sind die Flächenstücke

zwischen x-Achse und Funktionsgraph in beiden

Bereichen gleich groß.

Berechne also ein Stück und verdoppele es dann.

Dazu musst das entsprechende Integral berechnen,

also etwa von 0 bis 0,5√2..

Bilde eine Stammfunktion, das wäre hier

F(x) = x^4 / 2 - x^2 / 2

und dann rechne F(0,5√2) - F(0)

(1/8  - 1/4 )     -    0     =   -1/8

negativ, weil das Flächenstück unter der x-Achse liegt.

Also hat die Fläche die Maßzahl 1/8 und weil

(s.o.) es zwei gleich große Teile sind insgesamt  1/4.

Sieht so aus:

~plot~ 2*x^3-x; ~plot~

Answer 3

Hallo,

y= 2x^3 -x=0

x(2x^2 -1)=0

Satz vom Nullprodukt:

x1=0

2x^2 -1=0

2x^2  =1 |:2

x^2=1/2

x= ± √1/2= ± 1/√2

Comments

Mit den Grenzen ist das Integral Null.

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Dann schreibe eine EIGENE Lösung !!!

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Dadurch wird deine Lösung auch nicht richtig.   :-)

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Ich brauche keine Mathe Poliziei!!!

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Fehlt nur noch die Rechtschreib-Polizei!    :-)

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sowas kriegst Du auch spielend hin..

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Entschuldigung. Ich hatte mich vertan. Dein Integral ist doch richtig.

In Zukunft werde ich deine Antworten auch nicht weiter kommentieren.

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Was tue ich nicht alles für die Polizei.

Hab jetzt eine Änderung getan

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Vielleicht lag es ja daran, dass das Kunstwerk ein bisschen, uhm, ehm, schlecht lesbar war.

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oh noch ne Polizei aus der Schweiz  :-)

Ich kann Dich trösten , ich habe das von Wolfram alpha kopiert und das war SICHER lesbar :-)

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Picasso hat ja auch sehr schöne Werke geschaffen, indem er gelegentlich etwas auf eine Papierserviette kritzelte :)

Answer 4

Hier der Graph

Gesucht sind die eingeschlossene Fläche(n) ( 2 Stück )
Zunächst müssen  die Schnittstellen mit der x-Achse
als Integrationsgrenzen berechnet werden
x = -√ ( 1/2 ), 0 , + √ ( 1/2 )

f(x) = 2*x^3 - x
Stammfunktion
S ( x ) = 2 * x^4 / 4 - x^2/2

1.Fläche [ S ( x ) ] zwischen -√ ( 1/2 ) und 0
einsetzen
2 * 0^4 / 4 - 0^2/2 - ( 2 * (-√ ( 1/2 ))^4 / 4 - (-√ ( 1/2 ))^2/2)
0  -  ( -1/8 )
1/8

Die Fläche kommt 2 mal vor
1/4

mfg georg