Integralrechnung, Für welches a sind die Flächen über und unter der x-Achse gleich gross?

Question

Ich hab echt keine Ahnung wie die Aufgabe gemeint ist und wie ich sie lösen soll

Bestimmen Sie den Wert a>0 so, dass die Fläche oberhalb und unterhalb der x-Achse über dem Intervall [0;a] gleich groß sind. Berechnen Sie dazu nicht die nullstellen.
A) f(x)=xhoch 2−2

Kann mir dabei jemand helfen? :-)

Answer 1

Setze einfach das bestimmte Integral Null.

∫_(0)^{a} xhoch 2−2 dx = 0

Da ergibt sich a automatisch.

Illustration:

Comments

Und wie Rechen ich das dann aus?:)

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Fang mal an. Integrieren kannst du doch.

0= ∫₀^a x^2−2 dx = 1/3 x^3 -2x |_(0)^{a} 

0 = 1/3 a^3 - 2a       

0 = 1/3 a(a^2 - 6)      |3. binomische Formel

0 = 1/3 a(a-√6)(a+√6)

a = ± √6 (oder gar a=0, aber das ist ja nicht interessant)

Somit ist a= √6.

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Das sind dann 1/3 mal a hoch 3 -2 -(1/3 mal 0 hoch 3 -2)

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Sehr gut. Fast richtig.

1/3 mal a hoch 3 -2a -(1/3 mal 0 hoch 3 -2*0) = 0

Nun einfach weiter vereinfachen.

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Und was mache ich dann wenn ich a raus habe

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Dann bist du fertig. a ist gesucht. Lies die Frage nochmals.

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aber die Flächen oberhalb und unterhalb der x Achse müssen doch gleich groß sein dann muss ich die doch noch ausrechnende oder nicht?

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Nein. Es ist nur a gesucht.

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Und woher weiß ich dann das die Flächen mit diesem a gleich groß sind?

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Was weisst du zum Vorzeichen des bestimmten Integrals?

Vielleicht, dass das Integral neg. ist, wenn die Kurve unterhalb der x-Achse verläuft?

Solche Kenntnisse musst du anwenden. Ich habe übrigens in meiner Antwort gerade noch eine Illustration eingefügt.

Answer 2

hier eine Skizze


f ( x ) = x^2 - 2
Stammfunktion
x^3 / 3 - 2 * x
Gesucht
[ x^3 / 3 - 2 * x ]₀^a = 0
a^3 / 3 - 2 * a - ( 0^3 / 3 + 2 * 0 ) = 0
a^3 / 3 - 2 * a = 0
a * ( a^2 / 3 - 2 ) = 0
a^2 / 3 - 2 = 0
a^2 / 3 = 2
a^2 = 6
a = √ 6
a = 2.45

Bei x = 2.45 ist die Fläche oberhalb und unterhalb
zwischen Funktion und x-Achse gleich.



mfg

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Vielen Dank für die Hilfe :)