Aufgabe:
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, welches von den Flächen
\(x + y + z = 4; \quad x^2 + y^2 = 4; \quad x = 0; \quad y = 0; \quad z = 0 \)
berandet ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe wie folgt gerechnet.
\(V = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} \int_0^{4 - x - y} \, dz \, dy \, dx\)
Integration über \( z \):
\(V = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} \left[ z \right]_0^{4 - x - y} \, dy \, dx\)
\(= \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} (4 - x - y) \, dy \, dx\)
Integration über \( y \):
\(V = \int_0^2 \left[ 4y - xy - \frac{y^2}{2} \right]_0^{\sqrt{4 - x^2}} \, dx\)
\(= \int_0^2 \left( 4 \sqrt{4 - x^2} - x \sqrt{4 - x^2} - \frac{(4 - x^2)}{2} \right) \, dx\)
\(= \int_0^2 \left( 4 \sqrt{4 - x^2} - x \sqrt{4 - x^2} - 2 + \frac{x^2}{2} \right) \, dx\)
Ergebnis:
V \approx 7,23
Was eher mein Problem ist, das ich nicht ganz verstehe inwiefern ich die Integrationsgrenzen berechnen soll.
Weil am Anfang habe ich gedacht, das es um die Umwandlung von kartesischen Koordinaten in zylindrische Koordinaten geht.
Weil dann hätte ich diese Integrationsgrenzen genommen:
\( x^2 + y^2 = 4 \)
\( r: 0 \) bis \( 2 \) (Radius)
( x + y + z = 4 \)
\( z: 0 \) bis \( 4 - r(\cos \theta + \sin \theta) \)
\( \theta: 0 \) bis \( 2\pi \)
\(V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4 - r(\cos \theta + \sin \theta)} r \, dz \, dr \, d\theta\)
Ich weiß manchmal garnichts so wirklich inwieweit ich was betrachten muss...
Kann wer helfen?
