Berechnen Sie das Volumen des Körpers, welches von den Flächen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, welches von den Flächen

\(x + y + z = 4; \quad x^2 + y^2 = 4; \quad x = 0; \quad y = 0; \quad z = 0 \)

berandet ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe wie folgt gerechnet.

 \(V = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} \int_0^{4 - x - y} \, dz \, dy \, dx\)

Integration über \( z \):

\(V = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} \left[ z \right]_0^{4 - x - y} \, dy \, dx\)

\(= \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} (4 - x - y) \, dy \, dx\)

Integration über \( y \):

\(V = \int_0^2 \left[ 4y - xy - \frac{y^2}{2} \right]_0^{\sqrt{4 - x^2}} \, dx\)

\(= \int_0^2 \left( 4 \sqrt{4 - x^2} - x \sqrt{4 - x^2} - \frac{(4 - x^2)}{2} \right) \, dx\)

\(= \int_0^2 \left( 4 \sqrt{4 - x^2} - x \sqrt{4 - x^2} - 2 + \frac{x^2}{2} \right) \, dx\)

Ergebnis:

 V \approx 7,23

Was eher mein Problem ist, das ich nicht ganz verstehe inwiefern ich die Integrationsgrenzen berechnen soll.

Weil am Anfang habe ich gedacht, das es um die Umwandlung von kartesischen Koordinaten in zylindrische Koordinaten geht.

Weil dann hätte ich diese Integrationsgrenzen genommen:

\( x^2 + y^2 = 4 \)

 \( r: 0 \) bis \( 2 \) (Radius)

( x + y + z = 4 \)

\( z: 0 \) bis \( 4 - r(\cos \theta + \sin \theta) \)

\( \theta: 0 \) bis \( 2\pi \)

\(V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4 - r(\cos \theta + \sin \theta)} r \, dz \, dr \, d\theta\)

Ich weiß manchmal garnichts so wirklich inwieweit ich was betrachten muss...

Kann wer helfen?

Comments

Ergebnis:

V \approx 7,23

Was soll das bedeuten?

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nicht umgesetztes Latex-Statement für \( \approx \)

Answer 1

Aloha :)

Die Fläche \(x=0\) ist die \(yz\)-Ebene. Die Fläche \(y=0\) ist die \(xz\)-Ebene und die Fläche \(z=0\) ist die \(xy\)-Ebene. Da diese als Begrenzung wirken, sind wir auf einen Oktanden des \(\mathbb R^3\) beschränkt.

Die Fläche \(x^2+y^2=4\) ist ein Kreis mit Radius \(2\) in der xy-Ebene. Da \(z\) hier frei wählbar ist, entsteht als Volumen ein unendlich hoher (und tiefer) Zylinder mit Radius \(2\) und der z-Achse als Symmetrieachse. Da das Volumen aber auf einen Oktanden beschränkt sein soll, brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der den Zylinder nur im ersten Oktoanden abtastet. Es bietet sich an, diesen Ortsvektor in Zylinder-Koordinaten anzugeben:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in\left[0;\frac\pi2\right]\quad;z\ge0$$

Damit aber noch nicht genug, wird durch die Ebene \(x+y+z=4\) ein "Deckel" für unseren Viertel-Zylinder festgelegt. Formal erhalten wir dadurch bei festgehaltenem \(x\) und \(y\) einen Maximalwert für die \(z\)-Koordinate:$$0\le z\le4-x-y=4-r\cos\varphi-r\sin\varphi\quad\implies\quad z\in[0;4-r(\cos\varphi+\sin\varphi)]$$

Das Volumenelement ist in unserer Konstruktion gegeben durch:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$

Damit können wir das Integral für das Volumen formulieren:$$V=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\int\limits_{z=0}^{4-r(\cos\varphi+\sin\varphi)}r\,dr\,d\varphi\,dz$$Das sieht deinem Ansatz schon sehr ähnlich. Jedoch hast du bei der Obergrenze für den Polarwinkel \(\varphi\) nicht beachtet, dass wir auf einen Oktanden beschränkt sind.

Dieser Ansatz liefert uns als Volumen$$V=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\left(4r-r^2(\cos\varphi+\sin\varphi)\right)dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2\left(2\pi r-2r^2\right)dr=4\pi-\frac{16}{3}$$

Comments

Vielen vielen Dank für deine Mühe ^^

Das ist auf jeden Fall verständlicher für mich.