Aloha :)
Es ist klar, dass \(x\in[0;1]\) und \(y\in[0;1]\) stets nicht-negativ sind. Bei der \(z\)-Komponenten lauten die Grenzen \(0\) und \((x^2-y)\), sodass wir eine Fallunterscheidung brauchen:$$x^2\ge y\implies x^2-y\ge0\implies z\in[0;x^2-y]$$$$x^2<y\implies x^2-y<0\implies z\in[x^2-y;0]$$
Damit zerfällt das Volumen in einen Bereich oberhalb und einen unterhalb der \(xy\)-Ebene:$$x\in[0;1]\quad;\quad y\in[0;x^2]\quad;\quad z\in[0;x^2-y]$$$$x\in[0;1]\quad;\quad y\in[x^2;1]\quad;\quad z\in[x^2-y;0]$$
Das Volumen der beschriebenen Punktmenge beträgt daher:
$$V=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^{x^2}\int\limits_{z=0}^{x^2-y}dx\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=x^2}^{1}\;\;\int\limits_{x^2-y}^0dx\,dy\,dz$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^{x^2}(x^2-y)\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=x^2}^{1}-(x^2-y)\,dx\,dy$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=0}^1\left[x^2y-\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{x^2}dx+\int\limits_{x=0}^1\left[-x^2y+\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^1dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=0}^1\frac{x^4}{2}\,dx+\int\limits_{x=0}^1\left(\frac{x^4}{2}-x^2+\frac12\right)dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=0}^1\left(x^4-x^2+\frac12\right)dx=\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+\frac x2\right]_{x=0}^1=\frac{11}{30}$$
