Aloha :)
Endlich mal jemand, der Mathe liebt ;))) Beim Integrieren einer Potenz \(x^n\) musst du den Exponenten \(n\) um \(1\) erhöhen und dann durch den neuen Exponenten divideren. Aus \(x^n\) wird beim Integrieren also \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\). Damit kannst du alle Flächenberechnungen aus den Aufgaben durchführen. Wichtig ist noch, dass Flächen immer positiv gezählt werden. Wenn eine Funktion unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist ihr Integral jedoch negativ. Daher musst du den Betrag des Integrals als Fläche nehmen, falls das Ergebnis negativ ist.
$$F_a=\int\limits_0^2(x^2-x+1)dx=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x\right]_0^2=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}$$$$F_b=\int\limits_1^3\frac{1}{x^2}dx=\int\limits_1^3x^{-2}dx=\left[-x^{-1}\right]_1^3=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^3=-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{1}\right)=\frac{2}{3}$$
Bei der (c) müssen wir die Grenzen erst bestimmen. Der 4-te Quadrant ist derjenige rechts unten (x positiv, y negativ). Wir berechnen die Nullstellen der Funktion:$$x^3-x<0\quad\Leftrightarrow\quad x(x^2-1)=0\quad\Leftrightarrow\quad x(x-1)(x+1)=0$$und finden sie bei \(x=-1\) bei \(x=0\) und bei \(x=1\). Im 4-ten Quadranten liegen die letzten beiden, also geht das Integral von \(0\) bis \(1). Weil y hier negativ ist, dürfen wir die Betragszeichen für die Fläche nicht weglassen:$$F_c=\left|\int\limits_0^1(x^3-x)dx\right|=\left|\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2\right]_0^1\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right|=\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}$$
Bei der (d) haben wir dieselbe Funktion wie bei (c). Allerdings haben wir hier die Situation, dass die Kurve unterhalb der \(x\)-Achse verläuft für \(x\in[0|1]\) und oberhalb der \(x\)-Achse für \(x\in[0|2]\). Das Integral unterhalb der x-Achse zählt ja negativ, das oberhalb der x-Achse zählt positiv. Daher müssen wir die Integration an der Nullstelle \(x=1\), die wir in (c) bereits gefunden haben aufteilen:$$F_d=\underbrace{\left|\int\limits_0^1(x^3-x)dx\right|}_{=F_c}+\int\limits_1^2(x^3-x)dx=\frac{1}{4}+\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2\right]_1^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$$