Mit Quotienkriterium zeigen, dass ∑ (-2)^k / 3^k √(k+1) absolut konvergent ist.

Question

Zeigen Sie mit dem Quotienkriterium, dass die Reihe ∑ (-2)^k / 3^k Wurzel(k+1) absolut konvergent ist.

mit k=0 bis unendlich bei dem Summenzeichen!

:)

Answer 1

(-2)^k / 3^k Wurzel(k+1)

a_k / a_k+1   wegen absolut, bleibt das Minuszeichen unberücksichtigt

= 2^k / 3^k Wurzel(k+1)    /    2^k+1 / 3^k+1 Wurzel(k+2)

= ( 2^k / 3^k Wurzel(k+1)  ) * (  3^k+1 Wurzel(k+2)  /   2^k+1 )

= 3 * Wurzel(k+2)    /   2 * Wurzel(k+1)

Oh, sehe gerade, dass ich falsch herum angefangen habe

also  a_k+1 / a_k   =    2 * Wurzel(k+1)   /     3 * Wurzel(k+2)

= (2/3) *   Wurzel   ((k+1)/(k+2) )

nun ist aber   Wurzel   ((k+1)/(k+2) ) immer kleiner als 1, also

a_k+1 / a_k  <  2/3  und da 2/3 < 1 ist, ist die Reihe abs konverg.