Konvergenz der unendlichen Reihe ∑ k^10/2^k

Question

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habe mal wieder ein kleines Problem.

Aufgabe 1) Zeige die Konvergenz/Divergenz folgender Reihen.

a) $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { { k }^{ 10 } }{ { 2 }^{ k } }  }$$

Habe jetzt das Quotientenkriterium versucht, habe aber keine Lösung rausbekommen.

Im Nenner steckt ja die geometrische Reihe und ich vermute mal, dass man das irgendwie nur umformen muss.

Aber leider komme ich nicht drauf :(

Bitte helft!

 

Comments

Im Nenner steckt keine geometrische Reihe, dazu müsste eine unendliche Summe im nenner stehen. Das Quotientenkriterium funktioniert hier eigentlich hervorragend.

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Das Problem was ich beim Quotientenkritierium habe ist, dass ich 2^k gut wegkürzen kann.

Aber dann steht da auch (k+1)^10, das kann ich ja leider nicht umformen und somit k^10 auch nicht wegkürzen.

(k+1)^10 ungleich k^10 * 1^10

Answer 1

Quotientenkriterium: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n}\cdot (n+1)^{10}}{2^{n+1}\cdot (n)^{10} }= \frac{1}{2}(\frac{1}{1+\frac{1}{k}})^{10} \leq \frac{1}{2} 1^{10}=\frac{1}{2}$$, also ist die Reihe konvergent.

Comments

Sieht schonmal top aus! Lustigerweise hatte ich auch 1/2 raus, obwohl mein Rechenweg natürlich falsch war x)

Kannst du mir die Umformungen bitte genauer erklären?

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Welche denn?

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ehrlich gesagt alles :,D