Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz ∑ (K!)/K^K

Question

ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz.

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ (k!)/(k^k) } $$

Ich weiß dass das Ergebnis ε lauten soll, also lim (1+(1/k))^k

Ich habe es mit dem Quotentenkriterium probiert und hänge hier fest:

(1/(1+(1/k))^k

Answer 1

(1/(1+(1/k)))^k          | 1^k = 1

= 1/(1+(1/k))^k = 1/e 

Answer 2

Quotientenkriterium:

{(k + 1)!/[(k + 1)^{(k + 1)}]}/{(k!)/(k^k)}

Mit (k + 1)! = (k + 1)*k! und (k + 1)^{(k + 1)} = (k + 1)^k *(k + 1) folgt nach Einsetzen in die obige Gleichung

k^k /[(k + 1)^k] = [k/(k + 1)]^k = [1/(1 + 1/k)]^k = 1/(1 + 1/k)^k

Wenn wir jetzt  den Term 1/(1 + 1/k)^k für k gegen Unendlich untersuchen, sehen wir, dass es einen Grenzwert gibt. Somit konvergiert die Reihe.