Konvergenz von Reihen mit Konvergenzkriterium untersuchen. b) ∑ 2^n / n^n

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums (Quotientenkriterium, Wurzelkriterium oder Leibnizsches Konvergenzkriterium):

a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \)

b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{n}} \)

c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}(2 n+1)} \)

d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^{2}} \)

Comments

Bei b) kann man eine konvergente Majorante angeben. 

(2^n / n^n) = (2/n) ^n

2/1 + (2/2)^2 + (2/3)^3 + (2/4)^4 + (2/5)^5 .....

< 2 + 1 +  (2/3)^3 + (2/3)^4 + (2/5)^5 .....

= 2 + 1 + (2/3)^3 ( 1 + (2/3)^2 + (2/3)^3 ....) 

Klammer ist eine konvergente geometrische Reihe. Quotientenkriterium sollte innerhalb der Klammer anwendbar sein. ===> auch 3 + (2/3)^3 * KLAMMER konvergiert.

Wir haben hier eine konvergente Majorante. Daher konvergiert b). 
Du weisst, was konvergente Majoranten sind?

Answer 1

a) Es ist

$$| \frac{a_{k+1}}{a_k} | = | \frac{ \frac{n+1}{3^{n+1}} }{ \frac{n}{3^n} } | = | \frac{ 3^n \cdot (n+1) }{ 3^{n+1} \cdot n } | = | \frac{ n+1 }{3n} | = | \frac{ 1 + \frac{1}{n} }{ 3 } | \rightarrow \frac{1}{3} < 1$$

Also konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.

b) Es ist

$$ \sqrt[n]{ | \frac{2^n}{n^n} | } = \frac{2}{n} \rightarrow 0 < 1$$

Also konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.

c) Es ist

$$ | \frac{ \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(2(n+1)+1) }} { \frac{3^n}{2^n \cdot (2n+1) }} |  = | \frac{ 2^n \cdot (2n+1) \cdot 3^{n+1} }{2^{n+1} \cdot (2(n+1)+1) \cdot 3^n } | = | \frac{(2n+1) \cdot 3}{2(2(n+1)+1)} | =| \frac{6n+3}{4n+6} | = | \frac{ 6 + \frac{3}{n} } { 4 + \frac{6}{n} } | \rightarrow \frac{6+0}{4+0} = \frac{6}{4} > 1$$

Also divergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.

d) Es ist $$\frac{1}{n^2}$$ eine monoton fallende Nullfolge, also konvergiert die Reihe.