Konvergenz von Reihen: Untersuchen Sie für welche x aus R die folgende Reihe konvergiert: ∑(4x)^n/(n+1)!

Question

Ich habe folgende Frage bei der ich nicht weiterkomme

Untersuchen Sie für welche x aus R die folgende Reihe konvergiert:

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( 4x \right)  }^{ n } }{ (n+1)! }  } $$

Am Ende lautet mein Ausdruck  $$x\quad <\quad \frac { n }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } $$, der falsch ist

Ich hab das Quotientenkriterium verwendet. Kann mir jemand helfen ?

Answer 1

Du kannst doch die Summanden auch als
4^n * x^n  /  (n+1) ! schreiben und dan ist es eine Potenzreihe
mit den Koeffizienten   4 ^n /  (n+1) ! 
Der Konv. radius ist also    lim  a_n / a_n+1  für n gegen unendlich
und das ist

(n+2)! * 4^n  /   (n+1)! * 4ⁿ⁺¹   = (n+2 ) / 4   geht gegen unendlich.
Also für alle x konvergent.