Implizite Funktion: lokale Auflösungen und deren Ableitungen in Punkt x

Question

Während meiner Prüfungsvorbereitung bin ich auf folgendes Problem gestoßen:

Aufgabe:

Zeige, dass das Gleichungssystem

a³ + b³ + c³ = 3

ab² + ca² = 2

bei (1,1,1) nach b und c in Abh. von a lokal auflösbar ist und bestimme b'(1) und c'(1).

Problem/Ansatz:

Der erste Teil der Aufgabe stellt kein Problem dar. Ich konnte zeigen, dass die genannten Auflösungen in einer Epsilonumgebung um (1) existieren.

Beim Berechnen der expliziten Werte \( \frac{∂b}{∂a} \) sowie \( \frac{∂c}{∂a} \) bei a = 1 bin ich jedoch über folgendes gestolpert:

\( \frac{∂F}{∂a} \) = \( \begin{pmatrix} 3a²+3b'(a)b(a)²+3c'(a)c(a)²\\b(a)²+2ab'(a)b(a)+2ac(a)c'(a) \end{pmatrix} \)

beide Terme sollen ja nun gleich null gesetzt und nach b'(a) bzw. c'(a) aufgelöst werden. Darf ich nun annehmen, dass aus dem Satz über implizite Funktionen folgt, dass b(a)=1=b(a)² (c(a)² analog)? Wenn dies der Fall ist, stoße ich bei der Auflösung des Gleichungssystems leider auf den Widerspruch 3=0.

Ich hoffe ich konnte mein Problem halbwegs verständlich schildern und bedanke mich im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

Hallo marsa,

Deine Funktionen sind $$a^3 + b^3 + c^3 = 3\\ ab^2 + ca^2 = 2 $$

muss es in der zweiten Zeile nicht heißen ... $$ \frac{\partial}{\partial a} ca^2 = c'a^2 + 2ca\\ \frac{\partial F}{\partial a} \to  \begin{pmatrix} 3a + 3bb' + 3cc'\\b^2 + 2abb' + c'a^2 + 2ca \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$ Mit \(a=b=c=1\) erhalte ich $$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b'\\c' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-5 \end{pmatrix} $$mit der Lösung \(b'=-4\) und \(c'=3\)