Hallo,
das ist eine typische Anwendungsaufgabe des Satzes über Implizite Funktionen aus der Analysis 2.
Setze$$f: \mathbb{R}^5\to \mathbb{R}^2 , (x_1,x_2,x_3,y_1,y_2)\mapsto \begin{pmatrix} x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 \\\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}+y_{1}-y_{2} +3\end{pmatrix}.$$Hierbei ist \(f(1,0.5,-1,-2,1)=0\), \(D=\mathbb{R}^5\) offen und \(f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^5)\) als Polynomfunktion. Berechne nun die Jacobimatrix \(J_f\):$$J_f(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2)=\begin{pmatrix} 2x_1 & 8x_2 & 2x_3 & -4y_1 & 2y_2 \\ 2(x_1+x_3) & 0 & 2(x_1+x_3) & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ und damit gilt$$J_f(1,0.5,-1,-2,1)=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 8 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Hierbei kannst du nach \(y=(y_1,y_2)\) auflösen, denn es gilt \(\det \frac{\partial f}{\partial (y_1,y_2)}=\det \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=-10\neq 0\). Daraus folgt die Existenz einer Auflösungsfunktion \(y: B_{\varepsilon}(1,0.5,-1)\to B_{\delta}(-2,1), (x_1,x_2,x_3)\mapsto (y_1,y_2)\), deren Ableitung in \((1,0.5,-1)\) durch:$$J_y(1,0.5,-1)=-\underbrace{\left [\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right ]^{-1}}_{=\frac{\partial f}{\partial (y_1,y_2)}}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{=\frac{\partial f}{\partial (x_1,x_2,x_3)}}=-\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ gegeben ist.
