Aufgabe:
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\( \begin{array}{ll}\text { Aufgabe } 2 . & (1+2+2=5 \text { Punkte })\end{array} \)
Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch
$$ f(x, y):=\left(e^{\sin (x)}-\cos (x), \cos (x+y)\right) \text { . } $$
a) Zeigen Sie, dass \( f \) nicht injektiv auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
b) Zeigen Sie, dass es eine offene Umgebung \( U \subset \mathbb{R}^{2} \) des Punktes \( P=\left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \) gibt, sodass \( f \) auf \( U \) injektiv und \( V:=f(U) \) offen ist.
c) Berechnen Sie für \( f^{-1}: V \rightarrow U \) die Ableitung an der Stelle \( (e, 0) \).
Problem/Ansatz:
Ich komme bei b) nicht weiter. Meine erste Idee war es mit dem Umkehrsatz, dies zu begründen, da dadurch zwei offene Umgebungen existieren, die aufeinander bijektiv abbilden, woraus die Injektivität auch folgen würde. Dabei war ich mir nicht sicher und ich hab versucht explizit eine offene Umgebung des Punktes P anzugeben worauf f injektiv wäre, kam aber nicht weiter. Ich würde mich freuen falls mir einer helfen könnte.
