Aufgabe:
Es seien \( n, m \in \mathbb{N} \) mit \( d:=n-m>0, f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) stetig differenzierbar. Zudem sei \( c \in \mathbb{R}^{m} \) so, dass \( f^{\prime}(x) \) für alle \( x \in M:=f^{-1}(\{c\}) \) surjektiv ist, worin \( M \neq \emptyset \) sei. Zeigen Sie, dass es für jedes \( x_{0} \in M \) eine offene Umgebung \( U \) von \( x_{0} \) und eine stetig differenzierbare Abbildung \( \phi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) gibt, sodass \( \phi: U \rightarrow \phi(U) \) ein Diffeomorphismus ist und
\( \phi(U \cap M)=\phi(U) \cap\left(\mathbb{R}^{d} \times\{0\}^{m}\right) \)
Problem/Ansatz:
Wir wissen, dass es ein x0 ∈ M und es bezeichne e_j den j-ten Standardvektor in R_n und f′(x0)ed+1,...,f′(x0)en eine Basis von Rm bilden. Dann könnten wir φ(x)=(x1,...,xd,f1(x)−c1,...,fm(x)−cm)⊤ für x∈Rn betrachten.Mit dem Satz über implizite Funktionen können wir daher eine offene Umgebung U von x0 und eine stetig differenzierbare Funktion
finden, sodass F(x,g(x))=0 für alle U gilt. Wir wissen bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.
