Erhaltungsgröße der Form X(x)Y(y) eines dynamischen Systems ermitteln?

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie für das dynamische System \( (x(t), y(t)) \) mit
\( \dot{x}=4, \quad \dot{y}=-3 y^{2} \)
eine Erhaltungsgröße der Form \( X(x) Y(y) \) (Produktansatz). Dabei sei \( y \neq 0 \).

Hinweise: Dividieren Sie an geeigneter Stelle durch \( X(x) Y(y) \). Verwenden Sie die logarithmische Integrationsregel \( \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \mathrm{d} x=\ln |f(x)|+C, C \in \mathbb{R} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe hier folgende Lösung; bevor ich mir hier irgendeinen Stuss zusammenrechne wollte ich sichergehen ob das die richtige herangehensweise ist..

Wie im Bild erwähnt habe ich zuallerserst X und Y = C gesetzt und dann nach t abgeleitet. Daraufhin das DGL System in zwei seperelle DGL aufgeteilt um jeweils eine DGL die nur von x abhängt und eine die nur von y abhängt zu erhalten. Daraufhin versucht die in der Aufgabe hingewiesene logarithmische Integrationsregel anzuwenden und ab da war ich mit meinem Latein am Ende.

Für jegliche Hilfe bin ich sehr dankbar!

Viele Grüße

Answer 1

Hallo,

Du hast die folgende Gleichung richtig hergeleitet:

$$4X'(x)Y(y)-3y^2X(x)Y'(y)=0$$

Diese musst Du nun durch \(X(x)Y(y)\) dividieren und die Anteile trennen:

$$4\frac{X'(x)}{X(x)}=3y^2\frac{Y'(y)}{Y(y)}$$

Jetzt ist Die Gleichung separiert: die linke Seite hängt nur von x ab, die rechte nur von y. Also müssen beide Seite gleich einer Konstanten sein, sagen wir p. Damit gilt mit Konstanten a,b

$$4\frac{X'(x)}{X(x)}=p \Rightarrow X(x)=a\exp(px/4)$$

$$3y^2\frac{Y'(y)}{Y(y)}=p \Rightarrow Y(y)=b\exp( -\frac{p}{3y})$$

Insgesamt ist also die Erhaltungsgröße (Konstante Faktoren sind unerheblich)

$$X(x)Y(y)=\exp(\frac{p}{4}x-\frac{p}{3}y^{-1})$$

Man kann zur Probe das System lösen und bestätigen, dass dies eine Erhaltungsgröße ist.

Gruß Mathhilf