\( M=\begin{pmatrix} a & -b \\ b& a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{pmatrix}=a\cdot E +b \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Verwende dann \( \exp(x\cdot A+y\cdot B) = \exp(x\cdot A) \cdot \exp(y\cdot B) \)
Der 1. Faktor ist recht einfach \( \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(a \cdot E)^k }{k!}= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{a^k \cdot E^k }{k!} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{a^k \cdot E }{k!}\)
\(=E \cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{a^k }{k!}=E \cdot \exp(a) = \exp(a) \cdot E \).
Für den 2. Faktor muss man die Potenzen von \( Z=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) genauer studieren und die Reihen von cos und sin vor Augen haben.
Die Potenzen sind E , Z , -E , -Z , E , Z , ....
\( \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(b \cdot Z)^k }{k!}= \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{b^{4k} \cdot Z^{4k} }{(4k)!} + \frac{b^{4k+1} \cdot Z^{4k+1} }{(4k+1)!} +\frac{b^{4k+2} \cdot Z^{4k+2} }{(4k+2)!} +\frac{a^{4k+3} \cdot Z^{4k+3} }{(4k+3)!} )\)
\( = \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{b^{4k} \cdot E }{(4k)!} + \frac{b^{4k+1} \cdot Z }{(4k+1)!} +\frac{b^{4k+2} \cdot (-E) }{(4k+2)!} +\frac{b^{4k+3} \cdot (-Z) }{(4k+3)!})\)
\( = \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{b^{4k} \cdot E }{(4k)!} +\frac{b^{4k+2} \cdot (-E) }{(4k+2)!} )+ \sum\limits_{k=0}^\infty ( \frac{b^{4k+1} \cdot Z }{(4k+1)!} +\frac{b^{4k+3} \cdot (-Z)}{(4k+3)!} )\)
\( = \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{b^{2\cdot 2k} \cdot E }{(2\cdot 2k)!} +\frac{b^{2(2k+1)} \cdot (-E) }{(2(2k+1))!} )+ \sum\limits_{k=0}^\infty ( \frac{b^{4k+1} \cdot Z }{(4k+1)!} +\frac{b^{4k+3} \cdot (-Z)}{(4k+3)!} )\)
\( = \sum\limits_{k=0}^\infty ((-1)^k \frac{b^{2\cdot k} \cdot E }{(2k)!} )+ \sum\limits_{k=0}^\infty ( \frac{b^{4k+1} \cdot Z }{(4k+1)!} +\frac{b^{4k+3} \cdot (-Z)}{(4k+3)!} )\)
\( = \sum\limits_{k=0}^\infty ((-1)^k \frac{b^{2\cdot k}}{(2k)!} ) \cdot E+ \sum\limits_{k=0}^\infty ( \frac{b^{4k+1} \cdot Z }{(4k+1)!} +\frac{b^{4k+3} \cdot (-Z)}{(4k+3)!} )\)
\( = \left(\begin{array}{cc} \cos (b) & 0\\ 0 & \cos (b) \end{array}\right) + \sum\limits_{k=0}^\infty ( \frac{b^{4k+1} \cdot Z }{(4k+1)!} +\frac{b^{4k+3} \cdot (-Z)}{(4k+3)!} )\)
Und mit der 2. Summe bekommst du \( \left(\begin{array}{cc} 0 & -\sin(b)\\ \sin(b)& 0 \end{array}\right)\)
Dann hast du insgesamt
\( \exp(a) \cdot E \cdot ( \left(\begin{array}{cc} \cos (b) & 0\\ 0 & \cos (b) \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} 0 & -\sin(b)\\ \sin(b)& 0 \end{array}\right)) \).q.e.d.
