Question

Wie wird die Allgemeine Lösungen eines inhomogenen DGL-Systems bestimmt?

Text erkannt:

\( \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc}-3 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -4 & -1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 & -1\end{array}\right) \vec{y}+\left(\begin{array}{c}4 x e^{-x} \\ 2 e^{-x} \\ \sin (4 x) e^{x} \\ x^{2}+1\end{array}\right) \)

Wie komme ich auf folgende Fundamentalmatrix und wie mache ich weiter?

Text erkannt:

charakteristisches Polynom:
\( p(\lambda)=\lambda^{4}+4 \lambda^{3}+6 \lambda^{2}+4 \lambda+1 \)
mit \( \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4} \) gilt z.B.
\( \begin{array}{l} \underline{\underline{Y}}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & e^{\lambda_{2} x} & 0 & -x e^{\lambda_{3} x} \\ 0 & -2 e^{\lambda_{2} x} & 0 & (1+2 x) e^{\lambda_{4} x} \\ e^{\lambda_{1} x} & 0 & -x e^{\lambda_{3} x} & \left(-4 x-\frac{9}{2} x^{2}\right) e^{\lambda_{4} x} \\ 0 & 7 e^{\lambda_{2} x} & e^{\lambda_{3} x} & 2 x e^{\lambda_{4} x} \end{array}\right) \\ \Rightarrow \underline{\underline{Y}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \left(-9 x^{2}+x\right) e^{-\lambda_{1} x} & \left(-\frac{9}{2} x^{2}+4 x\right) e^{-\lambda_{1} x} & e^{-\lambda_{1} x} & x e^{-\lambda_{1} x} \\ (2 x+1) e^{-\lambda_{2} x} & x e^{-\lambda_{2} x} & 0 & 0 \\ -(18 x+7) e^{-\lambda_{3} x} & -9 x e^{-\lambda_{3} x} & 0 & e^{-\lambda_{3} x} \\ 2 e^{-\lambda_{4} x} & e^{-\lambda_{4} x} & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array} \)

Comments

in der Fundamentalmatrix Y ist ein Fehler. In Zeile 1 Spalte 4 ist es natürlich Lambda_4 und nicht Lambda_3

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Was heißt Fehler? Das charakteristische Polynom ist doch \((\lambda+1)^4\)? Also sind alle Eigenwerte gleich -1

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Es ist nicht wirklich falsch. Theoretisch müsste dort ein anderer Eigenwert eingesetzt werden. Da aber alle Eigenwerte gleich sind, spielt das keine Rolle.

Answer 1

Hallo,

Folgender Lösungweg

1.) Berechnung der Eigenwerte via Laplace ----->

 λ  ist vierfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms.(λ_{1,2,3,4 =} -1)

2.) Berechnung der Eigenvektoren , inclusive der Hauptverktoren

\( \begin{array}{l}\lambda_{1}=-1 \\ \quad v_{1}=(1,-2,0,7)\end{array} \)

\( \begin{aligned} \lambda_{2} & =-1 \\ v_{2} & =(0,0,1,0)\end{aligned} \)

Hauptvektoren:

\( \begin{array}{rlrl}\lambda & =-1, & \mathrm{u}=\left(\frac{1}{9},-\frac{2}{9}, 0, \frac{7}{9}\right) \\ \lambda & =-1, & \mathrm{u}=(0,0,-9,0) \\ \lambda & =-1, & \mathrm{u} & =(-1,2,0,2) \\ \lambda & =-1, & \mathrm{u} & =(0,1,0,-4)\end{array} \)

Das Fundamentalsystem lautet:

\( \begin{array}{rrr} \vec{y}_{1}(t) & = & e^{\lambda t} \cdot \vec{v}_{1} \\ \vec{y}_{2}(t) & = & e^{\lambda t}\left[\vec{v}_{2}+t \vec{v}_{1}\right] \\ \vec{y}_{3}(t) & = & e^{\lambda t}\left[\vec{v}_{3}+t \vec{v}_{2}+\frac{t^{2}}{2} \vec{v}_{1}\right] \\ \vec{y}_{4}(t) & =e^{\lambda t}\left[\vec{v}_{4}+t \vec{v}_{3}+\frac{t^{2}}{2} \vec{v}_{2}+\frac{t^{3}}{3!} \vec{v}_{1}\right] \end{array} \)

Zur Erklärung der Hauptvektormethode dieser Link, die Formeln haben andere Bezeichnungen, aber können auch zur Lösung verwendet werden.,

 3.) Berechnung der allg. Lösung via Variation der Konstanten

Comments

Ich verstehe Deine Ausführung zum Fundamentalsystem nicht: Sie weichen doch von der Lösung ab, insofern als dort als Faktoren der exp-Terme nur Polynome bis zum Grad 2 vorkommen??