Partikuläre Lösung eines Inhomogenen DGL-Systems

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems:

x'(t)=Ax(t)+h(t), x(0)=\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

mit A=\( \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ -3 & 3 & -2 \end{pmatrix} \) und h(t)=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \).

Hinweise:

1.) Der Befehl [M,B]=jordan(A) liefert: M=\( \begin{pmatrix} -9 & 3 & 1 \\ -9 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} \), B=\( \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \).

2.) Das unbestimmte Integral von ∫3(t-τ)e^-2(t-τ)dτ = \( \frac{3}{4} \)e^-2(t-τ)(2(t-τ)+1)+C.

Problem/Ansatz:

Laut Skript ist die Lösung des AWP's gegeben durch:
x(t)=e^tAx₀+\( \int\limits_{0}^{t} \)e^(t-τ)Ah(τ)dτ, wobei der erste Summand die homogene Lösung und der Zweite die partikuläre Lösung ist.
Die Homogene konnte ich berechnen und habe e^-2t\( \begin{pmatrix} 1+3t\\1+3t\\1 \end{pmatrix} \) 'raus.

Haken tut es bei dem Integral, was muss ich da genau einsetzen, sodass mir auch der zweite Hinweis weiterhilft?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Bin selbst drauf gekommen:

für e^(t-τ)A*h(τ) einfach (t-τ) für t in die Lösung von e^tA einsetzen, das ich schon für den Homogenteil ausgerechnet habe.
Dann das Integral komponentenweise in den Vektor packen und ich komme auf den Hinweis 2.).