Sachtextaufgabe Gewinnfunktion

Question

Aufgabe:

Ein Autohändler verkauft ein Auto für 8000 €. Er setzt bei diesem Preis 15 Fahrzeuge im Monat ab. Die Zentrale fordert eine Neuberechnung des Verkaufspreises unter Bezug auf die Erfahrungen anderer Händler. Je Absenken des Verkaufspreises um 1000 € erhöht sich der Absatz um 15 Fahrzeuge (und umgekehrt). Der Einkaufspreis je Fahrzeug beträgt für den Händler 5500 €.

a)  Erstelle eine Tabelle mit den SpaltenköpfenV erkaufspreis in €, Ertrag je Fahrzeug in €, Absatz anFahrzeugen (abhängig vom Verkaufspreis) und Gewinn in €. Berechne einige Preisbeispiele. Ermittle dieGewinnfunktion und gib den Gültigkeitsbereich an.

b)  Bei welchem Verkaufspreis wird der Gewinn des Händlers maximal und gib diesen an.

c)  Wie hoch ist hierbei sein Fahrzeugabsatz ?

Problem/Ansatz:

Die Tabelle für a) ist soweit klar und der Definitionsbereich auch, kein Verluste einfahren und keine 0 Stück verkaufen. Die Funktion nur insoweit, dass Umsatz - Kosten aus den jeweiligen Werten = (Roh)Gewinn ergibt.

Answer 1

p(x) = - 1000/15·(x - 15) + 8000 = 9000 - 200/3·x

E(x) = p(x)·x = 9000·x - 200/3·x^2

G(x) = 9000·x - 200/3·x^2 - 5500·x = 3500·x - 200/3·x^2

G'(x) = 3500 - 200/3·2·x = 0 --> x = 26.25

p(26.25) = 9000 - 200/3·26.25 = 7250 €

G(26.25) = 3500·26.25 - 200/3·26.25^2 = 45937.50 €