Integralrechnung - Strecke berechnen

Question

ich verzweifle gerade an folgender Aufgabe:

Eine Murmel, deren Geschwindigkeit gegeben ist durch \( v(t)=v_{0} e^{-\frac{t}{T}} \operatorname{mit} T=0,5 \) s und \( v_{0}=v(0)=4 \frac{m}{s} \) kommt nur eine bestimmte Strecke \( L \) weit, selbst wenn sie unendich lange rollt. Wie lang ist diese Strecke?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, für T und v_o die gegebenen Werte einzusetzen, dann die Stammfunktion zu bilden und als Grenzen unendlich und 0 einzusetzen. Das scheint mir aber nicht wirklich richtig zu sein.

Habt ihr eine Idee?

Vielen Dank und noch einen schönen Sonntag :)

Answer 1

v(t) = 4·e^(- 2·t)

s(t) = V(t) = 2 - 2·e^(- 2·t)

lim (t --> ∞) s(t) = 2 m

Die Kugel rollt damit nur 2 m weit.

Comments

Vielen Dank! :)
Ich hatte wohl doch nur Schwierigkeiten bein Integrieren von der e-Funktion mit Substitution.

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Solange die e-Funktion nur eine lineare Funktion im Exponenten hat, brauchst du nur durch die Ableitung des Exponenten zu teilen.

Im Gegensatz dazu multiplizierst du ja auch nur mit der Ableitung des Exponenten wenn du die e-Funktion ableitest.

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Wenn man durch die Ableitung des Exponenten teilt, dann kommt das -2 zustande, aber woher kommt dann die erste 2?

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Das ist die Integrationskostante C die ich so gewählt habe, dass wenn ich 0 einsetze auch 0 heraus kommt. Du kannst aber auch wie folgt rechnen

V(t) = -2·e^(-2·t)

s(t) = ∫ v(t) dt = V(t) - V(0) = 2 - 2·e^(- 2·t)