Problem/Ansatz:
Die Zahlen \( a \) und \( b \) sind bekannt und so, dass \( a^{2}+b^{2} \neq 0 \) (da \( z \neq 0 \) ). Wir suchen einen Wert für \( u \) und \( v . \) Die Cramersche Regel liefert:
\( u=\frac{\operatorname{det}\left(A_{1}\right)}{\operatorname{det}(A)}=\frac{\left|\begin{array}{cc}1 & -b \\ 0 & a\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a & -b \\ b & a\end{array}\right|}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}} \quad \) und
\( v=\frac{\operatorname{det}\left(A_{2}\right)}{\operatorname{det}(A)}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & 1 \\ b & 0\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a & -b \\ b & a\end{array}\right|}=\frac{-b}{a^{2}+b^{2}} \)
Also ist
\( z^{-1}=u+v i=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}} i=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-b i)=\frac{1}{|z|^{2}}(a-b i) \)
Somit:
Jedes Element \( z=a+b i \in \mathbb{C}^{*} \) hat ein inverses Element: \( z^{-1}=\frac{1}{|z|^{2}}(a-b i) \)
Ich verstehe nicht, wie man bei det(A) auf a b und -b und a kommt...Kann mir das jemand erklären ?
