Eine ganzrationale Funktion 3.Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat in P(1/2) einen Hochpunkt

Question

Nun mein Ansatz

-2=a*1+b1^3

-2=1a+1b

-2=1a+1b aber wie geht es jetzt weiter und stimmt mein Ansatz überhaupt?

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Beschreibe bitte deinen Ansatz. Der ist nicht verständlich.

Answer 1

$$ f(x)=ax^3+bx$$

$$f'(x)=3ax^2+b$$

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Kurvenpunkt P(1|2)

$$ f(1)=2\Rightarrow 2=a+b~~~~~~(I)$$

Extrempunkt P(1|2)

$$ f'(1)=0\Rightarrow 0=3a+b~~~~~(II)$$

$$ (II)-(I):~~~~~-2=2a\Rightarrow a=-1 $$

$$ \ldots\Rightarrow b=3$$

$$ f(x)=-x^3+3x$$

https://www.desmos.com/calculator/ferqmsl6h8

Answer 2

f = a*x^3 + b * x^2 + c * x + d
punktsymmetrisch zum Ursprung
f = a*x^3 + c * x
f ´( x ) = 3a*x^2 + c
( 1 | 2 )
f ( 1 ) = a * 1^3 + c * 1 = 2
f ´( 1 ) = 3*a*1^2 + c = 0

Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen
und 2 Unbekannten lösen.

Comments

weshalb lässt man b und d aus?

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Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kommen die x-Terme nur in ungeraden Potenzen im Funktionsterm vor und f(x) enthält kein konstantes Glied.

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Punktsymmetrisch zum Ursprung ( 0 | 0 )
f ( 0 ) = a*0^3 + b * 0^2 + c * 0 + d  = 0
f ( 0 ) = 0 + 0 + 0 + d  = 0  => d = 0