Exponentialgleichung lösen und aufstellen

Question

Aufgabe:

Stellen Sie jeweils eine Exponentialgleichung auf und lösen Sie sie. a.) 700 € werden zu einem Jahreszinssatz von 1,25 % bei der Bank angelegt. Nach welchem Zeitraum beträgt das Guthaben 750 €.

b.) Ein Motorroller verliert jedes Jahr 15 % seines Wertes. Nach welcher Zeitspanne hat sich der Wert des Rollers auf 50 % des Neuwertes reduziert?

c.) In einer Hasenzucht gibt es 60 Tiere. Die Zahl der Hasen nimmt erfahrungsgemäß jeden Monat um 9 % zu. Nach welchem Zeitraum erreicht die Zucht eine Größe von 100 Tieren?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe es nicht. Ich habe zu a) einen Ansatz: 700*1,25^x= 750

Könnt jemand mir das erklären, das wäre super lieb?

Answer 1

a)  700*1,0125^n = 750

Bedenke: 1,025% entspricht 0,0125.

<=>  1,0125^n = 15/14 ≈1,0714

<=> n*ln(1,0125)=ln(1,0714)

<=> n* 0,012423   =0,06899

<=>   n = 5,55

Also dauert es etwa 5,5 Jahre.

b) Ansatz   0,85^n = 0,5

c) Ansatz  60*1,09^n =100

Comments

Also wäre b)

0,5=a*0,85^*

Aber wie rechne ich es dann aus

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Dann musst du links auch 0,5a hinschreiben.

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Tut mir leid aber ich verstehe es nicht. Also soll ich 0,5a=a*0,85^x ausrechenen aber da sind zwei unbekannte

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b) Ansatz  0,85ⁿ = 0,5

auf beiden Seiten den Logarithmus bilden:

ln(0,85ⁿ) = ln(0,5)

eine Logarithmenregel anwenden:

n·ln(0,85) = ln(0,5)

nach n auflösen:

n=\( \frac{ln(0,5)}{ln(0,85)} \)

Taschenrechner einsetzen.

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0,5a=a*0,85^4,27 ist das jetzt richtig?

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Die Zahl n≈4,27 ist richtig, eine Funktionsgleichung ist das aber nicht.

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0,5= a*0,85^4,27 wäre diese richtig?

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Das ist wieder keine Funktionsgleichung. Außerdem ist nach einer Zeitspanne gefragt. Die hattest du ja mit 4,27 [Jahre] bereits richtig ausgerechnet.

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Ich verstehe einfach gerade nichts und dazu hat die schule noch geschlossen.

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Es wurde die Frage gestellt:

"Nach welcher Zeitspanne hat sich der Wert des Rollers auf 50 % des Neuwertes reduziert?"

Was genau verstehst du da nicht?

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Ja wie ich die funktionsgleichung aufstelle.

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Das Wort "Funktionsgleichung" habe ich in die Debatte geworfen und gehört hier nicht her. Es tut mir leid, wenn ich damit für Verwirrung gesorgt habe.

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So also lautet die exponentiallfunktion

F(x)= a* 0,85 ^4,27?

Aber wie rechne ich dann den neuwert aus

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Den tatsächlichen Neuwert kann man nicht berechnen. Danach ist auch nicht gefragt.

Übrigens: An die Stelle des Motorrollers hätte auch jedes andere Fahrzeug treten können. Die Aufgabe hätte die gleiche Lösung.

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Also ist das schon die Lösung? Weiö da steht 50% des neuwertes verliert

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Ja, die Lösung ist die Antwort auf die gestellte Frage:

"Nach welcher Zeitspanne hat sich der Wert des Rollers auf 50 % des Neuwertes reduziert?"

Diese Antwort lautet: "Nach einer Zeitspanne von 4,27 Jahren hat sich der Wert des Rollers auf 50 % des Neuwertes reduziert."

Answer 2

Stellen Sie jeweils eine Exponentialgleichung auf und lösen Sie sie.
a.) 700 € werden zu einem Jahreszinssatz von 1,25 % bei der Bank angelegt. Nach welchem Zeitraum beträgt das Guthaben 750 €.

% heißt " von hundert "
4 % sind " 4 von hundert "

1.25 % zu 100 = x zu 700
1.25 / 100 = x / 700
0.0125 = x / 700
x = 0.0125 * 700
x = 8.75 €

8.75 € Euro sind 1.25 % von 700 €

Gesamtkapital nach 1 Jahr
Ausgangskapital + Zinsen
700 + 700 * 0.0125
700 * ( 1 + 0.0125 )
700 * 1.0125 = 708.75 €

nach 2 Jahren
( 700 * 1.0125 ) * 1.0125 = 700 * 1.025 ^2
nach 3 Jahren
( 700 * 1.0125 ) * 1.0125 * 1.025 = 700 * 1.025 ^3

K ( t ) = K0 * 1.025 ^t

So sind  die einfachen Exponentialgleichungen
aufgebaut

K  ( t ) = 700 * 1.0125 ^t = 750
700 * 1.0125 ^t = 750  | : 700
1.0125 ^t = 750 / 700  | ln ( )
ln ( 1.0125 ^t ) = ln (750 / 700 )
t * ln ( 1.0125 ) = ln ( 1.0714 ) | : ln ( 1.1025 )
t = ln ( 1.0714 ) / ln ( 1.0125 )
t = 5.55 Jahre

Bei Bedarf nachfragen.
Auch die anderen Aufgaben.

Comments

Vielen dank für deine Mühe allerdings verstehe ich die anderen zwei gar nicht also ich kann gleichungen lösen aber nicht aufstellen ja

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Kannst du mir bitte helfen?

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b.) Ein Motorroller verliert jedes Jahr 15 % seines Wertes. Nach welcher Zeitspanne hat sich der Wert des Rollers auf 50 % des Neuwertes reduziert?

Restwert nach 1 Jahr : 0.95 ( in Prozent 95 % )
Nach dem 2. Jahr wieder 0.95 davon
0.95 * 0.95 = 0.95 ^2 = 0.9025 ( 90.25 % )
3:Jahr 0.95 * 0.95 * 0.95 = 0.95 ^3 = 85.74 %

Allgemein
nach x Jahren 0.95 ^x
Wann ist 0.95 ^x = 0.5 ( 50 % )
0.95 ^x = 0.5  | ln ( )
ln ( 0.95 ^x ) = ln ( 0.5 )
x * ln (0.95 ) = ln ( 0.5 )
x = ln ( 0.5 ) / ln ( 0.95)
x = 13.51 Jahre

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c.) In einer Hasenzucht gibt es 60 Tiere. Die Zahl der Hasen nimmt erfahrungsgemäß jeden Monat um 9 % zu. Nach welchem Zeitraum erreicht die Zucht eine Größe von 100 Tieren?

H ( t ) = 60 * 1.09 ^t = 100

Dies ist der Ansatz.
Das Rechnen schaffst du ?