Wie löse ich diese Aufgabe (stochastische Prozesse)

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1) habe ich gelöst, jedoch verstehe ich nicht, wie man die anderen Aufgaben lösen soll, wir sollen die selbstständig verarbeiten, da wir momentan aufgrund von Corona frei haben, leider bin ich nicht so gut in Mathe und dementsprechend verstehe ich nicht, wie ich bei den weiteren Aufgaben vorgesehen soll. Ich bedanke mich für Hilfe.

Problem/Ansatz:

2 Die Telefongesellschaften A-tel, B-tel und C-tel haben den Telefonmarkt erobert und schließen Jahresverträge mit ihren Kunden ab. Fig. 3 zeigt, wie viele Kunden anteilmäßig von Jahr zu Jahr die Gesellschaft wechseln.

a) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix
b) Am Anfang hat jede Gesellschaft 1/3 der Kunden unter Vertrag. Wie sieht die Kundenverteilung nach zwei bzw. fünf Jahren aus?
c) Wie lange dauert es, bis der Anteil von B-tel größer wird als \( 54,5 \% ? \)
d) Jan möchte den Übergang von B nach A weglassen. Modifizieren Sie das Prozessdiagramm und untersuchen Sie, wie sich der Prozess dann entwickelt.

Answer 1

a)

M = [0.6, 0.1, 0.1; 0.3, 0.8, 0.2; 0.1, 0.1, 0.7]

b)

[0.6, 0.1, 0.1; 0.3, 0.8, 0.2; 0.1, 0.1, 0.7]^2·[1/3; 1/3; 1/3] = [0.2333; 0.4867; 0.28]

[0.6, 0.1, 0.1; 0.3, 0.8, 0.2; 0.1, 0.1, 0.7]^5·[1/3; 1/3; 1/3] = [0.2042; 0.5394; 0.2565]

c)

[0.6, 0.1, 0.1; 0.3, 0.8, 0.2; 0.1, 0.1, 0.7]^6·[1/3; 1/3; 1/3] = [0.2021; 0.5440; 0.2539]

[0.6, 0.1, 0.1; 0.3, 0.8, 0.2; 0.1, 0.1, 0.7]^7·[1/3; 1/3; 1/3] = [0.2010; 0.5466; 0.2523]

Es dauert 7 Jahr

d)

Die neue Übergangsmatrix ist dann

M = [0.6, 0, 0.1; 0.3, 0.9, 0.2; 0.1, 0.1, 0.7]