Grenzverteilung, stochastische Prozesse

Question

Problem/Ansatz:

wir haben in Mathe ein neues Thema angefangen, jedoch komme ich leider nicht weiter, da wir keine Erklärungen zu den Aufgaben bekommen haben.

Aufg.1) Wisst ihr wie man den Eintrag m21 erläutert?

Aufg.2) Wie bestimme ich den einen Fixvektor?

Aufg.3) Wie berechnet man z.B. M^5 eventuell Mit dem GTR?

Aufg.4) Diese Aufgabe habe ich leider gar nicht verstanden

!!

Comments

Hast du denn die Matrix aufgeschrieben ?

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Ja: M= (0,6  0,1  0,6)

         (0,2  0,8  0,3)

         (0,2  0,1  0,1)

(Eig soll es nur 2 Klammern geben, wusste nicht wie ich es sonst schreiben soll.

Aufg.1 habe ich jtz geschafft.

Ich habe für m21= 0,2 also 20% der Kunden wechselten von A nach B

Answer 1

Dann hast du 1 ja fertig.

2. Ein Fixvektor v muss die Bedingung M*v=v erfüllen

==>    M*v = E*v   ( E = Einheitsmmatrix )

==>  ( M - E ) * v = 0    mit v=(x;y;z)^T gibt es das

homogene Gleichungssystem mit der Matrix

   (-0,4   0,1  0,6)

      (0,2  -0,2  0,3)

      (0,2  0,1   -0,9)

und mit Gauss also z.B. :

1             0     -2,5
  0            1         -4
  0            0           0

==>  Fixvektoren sehen alle so aus ( 2,5t ;    4t  ;    t )

==>      2,5t + 4t + t = 1 ==>   t = 2/15 ≈ 0,133 = 13,3 %

Also ist die gesuchte Verteilung ( 33,3%  ; 53,3% ; 13,3% ).

3. Matrix abspeichern und dann ganz normal mit ^ potenzieren.

Du siehst: Für hohe Exponenten stehen beim Ergebnis in den

Spalten die Werte des Fixvektors aus 2.

4. M^100 * [ 1 ; 0 ; 0 ] = M^100 * [0;1;0] =  M^100 * [0;0;1]

         =  Ergebnis von 2.

Auch wenn anfangs alle Kunden bei einem der Anbieter

sind, verteilen sie sich nach einiger Zeit immer auf die

Form ( 33,3%  ; 53,3% ; 13,3% ).