Bestimmen Sie alle zweireihigen Matrizen die mit der Matrix A vertauschbar sind.

Question

Bestimmen Sie alle zweireihigen Matrizen \( X \) vom Typ \( (2 \times 2), \) die mit der Matrix

 $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ vertauschbar sind.

Mein Ansatz:

A * X = X * A, sobald die Voraussetzung erfüllt ist, gelten die Matrizen als vertauschbar.

X wird als $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ definiert

daraus erhalte ich dann folgendes:

$$A*X = \begin{pmatrix} (a+0) & (b+0) \\ (-a+c) & (-b+d) \end{pmatrix}$$

$$X*A = \begin{pmatrix} (a-b) & b \\ (c-d) & d \end{pmatrix}$$

Wie fahre ich nun mit der Lösung dieser Aufgabe fort? Wenn ich die beiden Matrizen gleich setze erhalte ich folgendes:

a = a-b
b = b
c-a = c-d
-b+d = d

Answer 1

a = a-b  ==>   0 = -b  also b=0 
b = b
c-a = c-d  ==>   -a = -d also   a=d
-b+d = d ==>  wieder b=0 

Also hast du insgesamt:

 a=d und b=0  und c beliebig. Demnach sehen diese

Matrizen so aus

     a    0
     c    a

Comments

Okay das war doch einfacher als vermutet, also werden die Gleichungssysteme einfach aufgelöst.

Also machst du in der ersten Zeile folgendes:

a = a-b | -a

-b = 0 | * (-1)

b = 0

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Ja, genau so ist es.