finde alle normalen Matrizen A∈ℝ^(2x2)

Question

Aufgabe:

Ich soll alle normalen Matrizen A∈ℝ^(2x2) finden, also für die gilt: A*A^T=A^T*A

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass alle symmetrischen Matrizen (A^T=A) normal sind.
Genauso weiß ich, dass alle orthogonalen Matrizen (A*A^T=A^T*A=E_n) normal sind.

Reicht es wenn ich sage alle symmetrischen und orthogonalen A∈ℝ^(2x2) sind die gesuchten normalen Matrizen, oder muss ich wirklich jede einzelne rausfinden?

Answer 1

Mit A =   a b
            c d

machst du den Ansatz

  A * A^T = A^T * A

und bekommst

a²+b² = a² + c² ∧ ac+bd=ab+cd ∧ c² + d² = b² + d²

<=>  b² = c²   ∧    ac+bd=ab+cd

Also gilt schon mal b=c oder  b=-c

1. Fall c=b dann wird die 2. Bedingung zu ab+bd=ab+bd

                  ist also auch erfüllt.

2. Fall c=-b dann wird die 2. Bedingung zu -ab+bd=ab-bd

                                        <=>   b(-a+d) = b( a-d) 
    und das ist nur erfüllt, wenn b=0 (Dann haben

wir Fall 1.) oder a=d ist.

Also gibt es 2 Typen normaler 2x2 Matrizen

a   b
b   d

und

a  b
-b  a

Comments

Vielen dank, jetzt habe ich es verstanden!