Normale und duale Matrizen Addition

Question

Aufgabe:

Für alle n ∈ N0 und alle normalen A,B ∈ ℂn×n mit AB = BA sind auch
A+B und AB normal.

Problem/Ansatz: Hallo, kann uns jemand bitte bei dieser Aufgabe weiter helfen? Wir haben leider überhaupt keinen Ansatz.

Die Voraussetzung ist der fundamentalsatz der Algebra.

Answer 1

Hallo,

also du musst ja, um zu zeigen, dass \(A+B\) z. B. normal ist, zeigen, dass \(A+B\) mit ihrer Adjungierten \((A+B)^*\) kommutiert.

Dann mal los: \((A+B)(A+B)^*=(A+B)(A^*+B^*)=AA^*+BA^*+AB^*+BB^*\)

\(A\) und \(B\) kommutieren mit ihren Adjungierten. Eine Idee, wie man auf \((A+B)^*(A+B)\) kommt?