Gleichung der Tangente und Normale

Question

Aufgabe:

Gegeben ist f(x)= 4•\( \frac{x}{π} \)•sin(5x)

a) berechne Sie die Gleichung der Tangente t(x) an die Funktion bei x=\( \frac{π}{5} \)

b) ermitteln Sie die zugehörige Normale n(x)

Problem/Ansatz:

Ich komme leider bei der Ableitung der Funktion schon nicht weiter und das anschließende vorgehen ist mir unklar.

Answer 1

a)

\(f(x)= 4• \frac{x}{π} •sin(5x)\)

\(f'(x)=  \frac{4}{π} •sin(5x)+ 4• \frac{x}{π}•cos(5x)•5\)

\(f'(x)=  \frac{4}{π} •sin(5x)+ 20• \frac{x}{π}•cos(5x)\)

\(x= \frac{π}{5} \)

\(f'(\frac{π}{5})=  \frac{4}{π} •sin(5•\frac{π}{5})+ 20• \frac{\frac{π}{5}}{π}•cos(5•\frac{π}{5})\)

\(f'(\frac{π}{5})=  \frac{4}{π} •sin(π)+ 4•cos(π)\)

\(f'(\frac{π}{5})=  0-4=-4\)

Tangentengleichung:

\(f(\frac{π}{5})= 4• \frac{\frac{π}{5}}{π} •sin(5•\frac{π}{5})\)

\(f(\frac{π}{5})= 20 •sin(5•\frac{π}{5})=0\)

\( \frac{y-0}{x-\frac{π}{5}}=-4 \)

\(y=-4x+\frac{4}{5}•π\)

b)

Normalensteigung: \(m_N=-\frac{1}{-4}=\frac{1}{4} \)

\( \frac{y-0}{x-\frac{π}{5}}=\frac{1}{4} \)

\( y=\frac{1}{4}•x-\frac{π}{20} \)

Comments

Dankeschön, allerdings ist mir unklar wie man auf -4 aus 4•cos(π) kommt. Im Taschenrechner eingetippt kommt bei mir +4 raus

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Die Tangentengleichung stelle ich mit der Punkt-Steigungsform der Geraden auf:

\( \frac{y-y_1}{x-x_1}=m \)

Bei deiner Aufgabe sind nun \(y_1=f(\frac{π}{5})=0\) und \(x_1= \frac{π}{5} \)

Die Steigung: \( m=f'(\frac{π}{5})=-4\)

\( \frac{y-0}{x-\frac{π}{5}}=-4\)

Aufgelöst nach y ergibt das für die Tangente die Gleichung \(y=-4x+\frac{4}{5}π\)

Answer 2

a) t(x) = (x- π/5)*f '(π/5) + f(π/5)

b) n(x) = (x-π/5)* (-1)/f '(π/5) + f(π/5)

Ableitung mit Produkt- und Faktorregel:

u= x/π, u' = 1/π

v= sin(5x) , v' = 5*cos(5x)

Ergebnis mit 4 multiplizieren.

Comments

In der Lösung steht für a) -4x +\( \frac{4}{5} \)•π

wenn ich in die Ableitung mein x=\( \frac{π}{5} \) einsetzte komme ich nicht auf die Steigung -4

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Dann wirst Du am besten Deine Rechnung posten