Dreieck eingeschlossen von Tangente und Normale

Question

Aufgabe:

y= 4x + 2 ist Tangente der Funktion f (x) = ax^3 + bx^2 bei x=1

a) Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks, das von Tangente, Normale und y-Achse umschlossen ist.

Problem/Ansatz:

Wie soll man das berechnen?

Comments

Für f(x) gilt:

f(1)= 4*1+2 =6

f '(1)= y'(1) = 4

Answer 1

Bei der Lösung der Aufgabe spielt f(x) gar keine Rolle.

Tangente t(x)=4x+2

Für x=1: t(1)=4+2=6 → P(1|6)

Die Normale verläuft orthogonal zur Tangente.

Für ihre Steigung m gilt daher m*4=-1, also m=-0,25.

n(x)=-0,25x+b

P)1|6) → b=6,25

n(x)=-0,25x+6,25

Du erhältst ein Dreieck mit der Grundseite auf der y-Achse mit der Länge 6,25-2=4,25.

Die Höhe beträgt 1.

Also ist der Flächeninhalt A=0,5*4,25*1=2,125

☺

Answer 2

A = 1/2·(6.25 - 2)·1 = 2.125 FE

Eigentlich solltest du es dir doch Skizzieren können, oder nicht?

Answer 3

Gleichung der Normalen aufstellen. Sie hat Steigung \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4}\) weil die Tangente die Steigung \(m_t = 4\) hat. Die Normale verläuft - wie die Tangente auch - durch den Punkt \((1|f(1))\) weil die Tangente bei \(x=1\) angelegt wurde..

Dann Tangete und Normale in ein gemeinsames Kooridnatensystem einzeichnen und überlegen welches Dreieck gemeint ist, wie die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet und wie du an die benötigten Angaben rankommst.

Answer 4

Das Dreieck ist rot eingezeichnet, die Funktion blau, die Tangente gelb und die Normale grün.