Die Funktionen fa(x)= \( \frac{1}{a^2} \) * x^3 -\( \frac{6}{a} \) * x^2+9x (a>0) haben alle den Wendepunkt Wa (2a|2a)
f´(x)=\( \frac{3}{a^2} \) * x^2 -\( \frac{12}{a} \) * x+9
f´´(x)=\( \frac{6}{a^2} \) * x -\( \frac{12}{a} \)
\( \frac{6}{a^2} \) * x -\( \frac{12}{a} \)=0|*\( a^{2} \)
6 x -12a=0
x=2a
f(2a)= \( \frac{1}{a^2} \) * (2a)^3 -\( \frac{6}{a} \) * (2a)^2+9*(2a)
f(2a)=8a-24a+18a=2a
a) Zeigen Sie, dass alle Funktionen fa(x) im Wendepunkt Wa dieselbe Steigung haben.
f´(2a)=\( \frac{3}{a^2} \) * (2a)^2 -\( \frac{12}{a} \) *(2a)+9
f´(2a)=12 -24+9=-3
b) Ermitteln Sie die Gleichung der Normalen n des Graphen von fa(x) in Punkt Wa.
Steigung der Tangente ist m_T=-3
Die Steigung der Normalen ist m_N=\( \frac{1}{3} \)
W(2a|2a)
Punkt-Steigungsform einer Geraden:
\( \frac{y-y_1}{x-x_1} \)=m
\( \frac{y-2a}{x-2a} \)=\( \frac{1}{3} \)
y=\( \frac{1}{3} \) x-\( \frac{2}{3} \)a+2a
y=\( \frac{1}{3} \) x+\( \frac{4}{3} \)a
