Die Normale in der Wendestelle \(x=0\) berechnet sich aus:$$n\left(x\right)=-\frac{1}{f'\left(0\right)}\left(x-0\right)+f(0)=-x$$ Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, berechnest du die Schnittstellen der beiden Graphen. Zu diesem Anlass setze \(f(x)=n(x)\). Dann gilt \(-x^3+x=-x \Leftrightarrow -x(x^2-2)=0\) und damit nach dem Nullproduktsatz, dass \(x_1=0\) oder \(x_{2,3}=\pm \sqrt{2}\).
Der Symmetrie von \(f(x)=x^3\) wegens genügt es, eine der beiden Teilflächen zu betrachten und deren Flächeninhalt anschließend zu verdoppeln:$$A_1=\int \limits_{0}^{\sqrt{2}}f(x)-n(x) \mathrm{d}x=1$$ und damit \(A_{\text{ges}}=2\)
