Basis einer Linearen Hülle zeigen.

Question

Aufgabe:

Also ich hab folgende Vektoren

v₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) v₂ = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) v₃ = \( \begin{pmatrix} -2\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) v₄ = \( \begin{pmatrix} 0\\2\\1\\-2 \end{pmatrix} \)

Im ℝ⁴ 

Dann haben wir noch eine lineare Hülle D mit D:= ⟨v1,v2,v3,v4⟩. Und jetzt will ich zeigen dass v1,v2,v3 eine Basis von D bilden.

Soweit ich weiß ist es ne Basis wenn sich jeder Vektor in D eindeutig als Linearkombination von v1,v2 und v3 schreiben lässt. Hat jemand ne Idee wie ich die Aufgabe lösen kann? Habe noch keine Matrizen gelernt. Also ohne die wäre es super. Danke

Comments

Tipp: Es ist 2v₁ + v₃ = v₄.

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Ja das habe ich auch herausgefunden. Also v1,v2,v3 sind linear unabhängig voneinander und v4 lässt sich als Linear Kombination von den ersten drei bilden. Daher weiß ich auch dass die Dimension = 3 ist oder? (Ist auch gefragt)

Und mir ist klar dass somit alle Vektoren als Linearkombination von v1,v2 und v3 dargestellt werden können. Nur ist in der Definition auch von einer eindeutigen LK die Rede. Wie zeige ich das?

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Wenn v = av₁ +bv₂ + cv₃ und v = xv₁ + yv₂ + zv₃ zwei LK von v sind, dann
liefert Differenzenbildung 0 = (a-x)v₁ + (b-y)v₂ + (c-z)v₃.
Wenn v₁,v₂,v₃ lin. unabh. sind, muss also a-x = b-y = c-z = 0 sein, also a=x, b=y, c=z.
Daraus folgt die Eindeutigkeit der LK, auch im allgemeinen Fall.

Answer 1

Hallo

damit dass du gefunden hast dass D nur 3 linear unabhängige Vektoren hat  weisst du dass D 3 dimensional ist, und je 3 linear unabhängige Vektoren  in einem 3 d VR bilden eine Basis.

Gruß lul