Basis einer linearen Hülle

Question

(ii) Wählen Sie aus den Vektoren
x1 = (1, 3, 1), x2 = (2, 6, 2), x3 = (2, 10, 4), x4 = (0, 2, 1)
eine Basis der linearen Hulle \( \sum\limits_{i=1}^{4}{} \)ℚx_i ⊂ ℚ³

Es geht um die obige Aufgabe. Ich verstehe ungefähr, was ich machen muss. Aber ich möchte die Notation \( \sum\limits_{i=1}^{4}{} \)ℚx_i verstehen. Ist mit z.b. \( \sum\limits_{i=1}^{2}{} \)ℚx_i die Summen der Spannen aus Vektoren x₁ und x₂ gemeint? Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mir das erklären kann. :)

Answer 1

Es ist

        ℚx₁ = {v ∈ ℚ³ | ∃ λ∈ℚ: v = λx₁}.

Mit anderen Worten, ℚx₁ ist die Menge aller Vielfachen von x₁.

Sind M, N ⊆ ℚ³ , dann ist

        M + N = {v ∈ ℚ³ | ∃ m∈M, n∈N: v = m + n}.

Somit ist

        \(\sum\limits_{i=1}^{4}{}\)ℚx_i = ℚx₁ + ℚx₂ + ℚx₃ + ℚx₄

die Menge aller Linearkombinationen über {x₁, x₂, x₃, x₄}. Die Menge aller Linearkombinationen über {x₁, x₂, x₃, x₄} wird auch als lineare Hülle, Spann, Span (eng.), Erzeugnis oder Abschluss  von {x₁, x₂, x₃, x₄} bezeichnet.