Wie finde ich alle Matrizen B mit festem b12 = -1 zu meiner Matrix A?

Question

ich soll zu meiner Matrix A alle Matrizen B finden, wobei B den festen Eintrag hat mit b12 = -1.

Außerdem müssen die Matrizen B so sein, dass AB=BA.

Ich habe schon einige Matrizen gefunden auf die das zutrifft aber wie finde ich alle heraus bzw. wie geh ich sicher das das alle waren. Gibt es eine Möglichkeit das zu überprüfen?

Meine Matrix A lautet (3 -2                                                                                                                                                                                                        0  1)

Die Matrizen die ich bisher habe sehen wie folgt aus: für b11 <= 1, b12 = -1, b21 = 0, b22 = b11-1

also z.b  B=(1 -1              , oder B=(2 -1          , oder B=(9 -1                                                                                                                                     0  0)                             0  1)                         0  8)

Zudem würde ich gerne wissen wie ich sowas zu schreiben habe. Also wie man sowas in einer Prüfung zu schreiben hätte. Nicht das mir Punkte für eine falsche Schreibweise nicht gegeben werden :D

Vielen dank schonmal

Answer 1

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Matrix)#Kenngr.C3.B6.C3.9Fen

A =  (3 -2
         0  1)

B= ( a   -1
       b    c )

det (A) = 3      det(B) = ac+b

spur(A) = 4      spur(B) = a+c

char Polynom von A   p(x) = (x-3)(x-1) also Eigenwerte 3 und 1

  bei B        q(x) = x² - (a+c)*x +ac+b also muss gelten  q(3)=0 und q(1)=0

Damit kann man wohl die möglichen a,b,c ausrechnen.