Beweis zu adjungierten Matrizen

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe und ich weiß nicht, wie ich da vorgehen soll.

Die Aufgabe:

Seien A, B ∈ ℂ^N×N . Zeigen Sie: (AB)^H = B^HA^H .

Bemerkung: Falls A, B ∈ K^N×N , folgt analog (AB)^⊤ = B^⊤A^⊤

Hat da jemand eine Idee für mich? Danke im voraus.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir betrachten die Situation komponentenweise:$$(AB)^H_{ik}=\overline{(AB)}_{ki}=(\overline A\,\overline B)_{ki}=\sum\limits_{\ell=1}^N\overline A_{k\ell}\overline B_{\ell i}=\sum\limits_{\ell=1}^N A_{\ell k}^HB_{i\ell}^H=\sum\limits_{\ell=1}^N B_{i\ell}^HA_{\ell k}^H=(B^HA^H)_{ik}$$Da dies für alle Komponenten gilt, heißt das:$$(AB)^H=B^H\cdot A^H$$

Answer 2

Betrachten wir \(\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{C}^{n, n}\).

\(\begin{aligned}   (\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathsf{H}}_{i, j}   = (\overline{\mathbf{A}\mathbf{B}})_{j, i}   &= \overline{\sum_{k=1}^{n} (\mathbf{A})_{j, k} (\mathbf{B})_{k, i}}   \\   &= \sum_{k=1}^{n}\overline{ (\mathbf{A})_{j, k} (\mathbf{B})_{k, i}}   \\   &= \sum_{k=1}^{n}(\overline{\mathbf{A}})_{j, k} (\overline{\mathbf{B}})_{k, i}   \\   &= \sum_{k=1}^{n} (\mathbf{A}^{\mathsf{H}})_{k, j}(\mathbf{B}^{\mathsf{H}})_{i, k}   \\   &= \sum_{k=1}^{n}(\mathbf{B}^{\mathsf{H}})_{i, k} (\mathbf{A}^{\mathsf{H}})_{k, j} = (\mathbf{B}^{\mathsf{H}}\mathbf{A}^{\mathsf{H}})_{i, j} .\end{aligned}\)