Hintereinanderausführung von Funktionen - Gruppe

Question

Aufgabe:

S_l(G):= {l_a: a∈G}

Zeigen Sie, dass S_l(G) zusammen mit der Hintereinanderausführung von Funktionen eine Gruppe bildet.

Answer 1

Du solltest zuerst Abgeschlossenheit zeigen, also dass

$$ \forall a,b \in G \exists c \in G: I_a \circ I_b = I_c $$

Assoziativität ist klar, Komposition von Funktionen ist immer assoziativ.

Dann ist ein neutrales Element gesucht, dass ist bei der Komposition die Identität \( \textrm{id}_G: G\to G, x\mapsto x \) also suche mal ein \( g \in G \) mit \( I_g = \textrm{id}_G\)

Anschließend musst du zu allen \( a\in G \) noch ein \( b \in G\) mit $$ I_a\circ I_b = \textrm{id}_G = I_b\circ I_a $$ finden.

Comments

Mir ist klar, dass die Gruppenaxiome zu prüfen sind, aber ich bin unsicher, wie...

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Für detailliertere Hilfe brauche ich mehr Infos.

Ist G eine Gruppe? Wie ist \( I_a \) definiert?

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(G,·) sei eine Gruppe

l_a: G → G: x ↦ a·x

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Du solltest zuerst Abgeschlossenheit zeigen, also dass
$$ \forall a,b \in G \exists c \in G: I_a \circ I_b = I_c $$

Seien also \( a,b \in G \) beliebig, dann gilt für alle \( x \in G \) $$ (I_a \circ I_b )(x) = I_a(I_b(x))= I_a(b\cdot x) = a\cdot (b\cdot x) = (a\cdot b)\cdot x = I_{a\cdot b}(x) $$ und somit \( I_a \circ I_b = I_{a\cdot b} \in S_I(G) \), denn \( a\cdot b \in G \) da \( G \) eine Gruppe ist.

Dann ist ein neutrales Element gesucht, dass ist bei der Komposition die Identität \( \textrm{id}_G: G\to G, x\mapsto x \) also suche mal ein \(g∈G\) mit \(I_g=\textrm{id}_G\)

Wir suchen jetzt ein \( g \in G \) s.d. \(I_g=\textrm{id}_G\). Für alle \( x \in G \) soll also $$ I_g(x) = g\cdot x = x =\textrm{id}_G(x) $$ gelten. Für \( g \) kommt deshalb nur das neutrale Element der Gruppe in Frage. Bezeichnen wir dieses mal mit \( e_G \).

Anschließend musst du zu allen \(a∈G\) noch ein \(b∈G\) mit
$$I_a∘I_b=\textrm{id}_G=I_b∘I_a$$ finden.

Nehmen wir uns mal ein \( a \in G \). Dann suchen wir ein \( b \in G \) s.d. \( I_a \circ I_b = \textrm{id}_G  \) bzw. für alle \( x \in G \) gilt: $$ (I_a \circ I_b)(x) = (a\cdot b)\cdot x = x = \textrm{id}_G(x) $$Demnach muss \( a \cdot b = e_G \) gelten, weshalb \( b = a^{-1} \) das Inverse Element von \( a \) sein muss.