Zeigen Sie, dass (Bi(A),◦) eine Gruppe ist, wobei ◦ die Verknüpfung/Hintereinanderausführung von Abbildungen ist.

Question

Sei A eine nichtleere Menge und:

$$ Bi(A):=\left\{ { f:\quad A\rightarrow A }|{ f\quad bijektiv } \right\} $$

Zeigen Sie, dass (Bi(A),◦) eine Gruppe ist, wobei ◦ die Verknüpfung/Hintereinanderausführung von Abbildungen ist.

Answer 1

Hintereinanderausf. von Abb'en ist assoziativ.

id_A ( also die Abb. mit f(a)=a für alle a aus A) ist bijektiv,

also in Bi(A) enthalten.

Jede bijektive Abb. hat eine Inverse , die auch bif. ist. Also

besitzt jedes El. ein Inverses.

Comments

huh? Das verstehe ich nicht, kannst du vielleicht etwas ausführlicher werden?

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Du must doch zeigen, damit es eine Gruppe ist:

Abgeschlossenheit, d.h. Das Ergebnis jeder Verknüpfung ist wieder in Bi(A).

Assoziativität der Verknüpfung

Existenz eines neutralen Elementes

Existenz eines inversen El zu jedem x aus Bi(A).

siehe auch

https://www.mathelounge.de/4180/definierung-einer-verknupfung-zeigen-dass-eine-gruppe-ist