Definierung einer Verknüpfung: Zeigen Sie, dass (Bij(M), ◦) eine Gruppe ist

Question

Bei folgender Aufgabe finde ich absolut keinen Ansatz:

Sei M eine Menge. Sei Bij(M) die Menge der bijektiven Abbildungen
f : M → M. Man definiert die Verknüpfung Bij(M) × Bij(M) → Bij(M) durch Komposition von Abbildungen: (f, g) 7→ f ◦ g.

Zeigen Sie, dass (Bij(M), ◦) eine Gruppe ist. Geben Sie, in der Gruppe (Bij(M), ◦), das neutral Element und das inverse Element von einem beliebigen Element f ∈ Bij(M) an.

Answer 1

Eine Abbildung ist definiert, durch:
f: M →M: x∈M ↦ f(x)∈M

Die Komposition zweier Abbildungen f (wie oben definiert) und g, definiert durch

g: M →M: x∈M ↦ g(x)∈M

ist definiert als

f◦g: M→M: x↦f(g(x))

 

Zu zeigen sind nun die Gruppeneigenschaften, also:
I) Assoziativität

II) Existenz des neutralen Elements

III) Existenz des inversen Elements

 

ad I): Die Verknüpfung ist assoziativ, denn:

((f◦g)◦h)(x) = (f◦g)(h(x)) = f(g(h(x)))

(f ◦ (g◦h))(x) = f(g◦h)(x)) = f(g(h(x)))

 

ad II): Existenz des neutralen Elements

Das neutrale Element ist die Identitätsfunktion id_M: M→M: x↦x, denn:

(f◦id_M)(x) = f(id_M(x)) = f(x)

(id_M◦f)(x) = id_M(f(x)) = f(x)

 

ad III): Existenz des inversen Elements

Sei f ∈ Bij(M). Dann ist f injektiv und insbesondere umkehrbar. Die Umkehrfunktion von f ist die Funktion f^-1:M→M: y↦f^-1(y) mit der Eigenschaft: y=f(x) ⇒ x = f^-1(y)

Es gilt:

(f◦f^-1)(x) = f(f^-1(x)) = x = id_M(x)

(f^-1◦f)(x) = f^-1(f(x)) = x = id_M(x)

Also ist f^-1 das inverse Element von f.

 

Damit sind alle Bedingungen erfüllt, (Bij(M), ◦) ist eine Gruppe.