Beweis Abelsche Gruppe: (Z,+), wobei + : Z×Z → Z durch (x, y) 7→ x+y

Question

 den Beweis für folgende aufgabe zu erstellen macht mir gerade schwierigkeiten:

1. Zeigen Sie, dass (Z,+), wobei + : Z×Z → Z durch (x, y) 7→ x+y definiert ist, eine abelsche Gruppe ist.

Answer 1

Zu zeigen sind die gewöhnlichen Gruppeneigenschaften und zusätzlich die Kommutivität, die die Gruppe abelsch macht.

Ich denke, ℤ sollen die ganzen Zahlen sein? Darauf baue ich den Beweis auf.

 

I) Assoziativität: Die Frage ist, worauf ihr das aufbaut. Ich würde es als GrundVoraussetzung nehmen, dass die Addition in den ganzen Zahlen assoziativ ist, denn x+(y+z) = (x+y)+z.

II) Das neutrale Element ist die 0, denn x+0 = x = 0+x

III) Das inverse Element zu x ist -x, denn x+(-x) = x-x = 0.

IV) Die Operation ist kommutativ, denn x+y = y+x.

Wie gesagt fußt der Beweis aber darauf, dass gewisse Grundlagen über die Ganzen Zahlen vorhanden sind. Ob man das irgendwie "aus dem Nichts" beweisen kann, weiß ich nicht.

Möglicherweise kann man es aus den Peano-Axiomen ableiten, allerdings ist dafür auch die Frage, wie ihr die Ganzen Zahlen überhaupt definiert habt.