Aloha :)
1) Abgeschlossenheit.
Seien \(f,g\in S(X)\), dann bilden beide Funktionen die Menge \(X\) auf die Menge \(X\) ab, daher bildet auch die Komposition der beiden Funktionen von \(X\) auf \(X\) ab:$$(f\circ g):X\to X$$Da \(f\) und \(g\) surjektiv sind, bildet \(g\) auf ganz \(X\) ab und \(f\) bildet diese Bilder seinerseits auf ganz \(X\) ab. Daher ist auch \(f\circ g\) surjektiv.
Da \(f\) und \(g\) injektiv sind, bildet \(g\) auf höchstens ein Element aus \(X\) ab und \(f\) bildest diese Element seinerseits auf höchstens ein Elmenent aus \(X\) ab. Daher ist auch \(f\circ g\) injektiv.
Wegen der Injektivität und Surjektivität ist \(f\circ g\) auch bijektiv und damit Element von \(S(X)\). Die Menge \(S(X)\) ist also gegenüber der Komposition \(\circ\) als Verknüpfung abgeschlossen.
2) Assoziativiät.
Seien \(f,g,h:\,X\to X\) drei beliebige Funktionen aus \(S(X)\), dann gilt:$$((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x))$$$$(f\circ( g\circ h)))(x)=f(g\circ h)(x)=f(g(h(x)))$$Mit der Hintereinanderausführung \(\circ\) als Verknüpfung gilt also Assoziativiät.
3) Existenz eines neutralen Elementes.
Die identische Abbildung \(\operatorname{id}:X\to X\,,\,x\to x\) bildet jedes Elment von \(X\) genau auf sich selbst ab, ist also bijektiv und damit in \(S(X)\). Sie ist weiter das neutrale Element der Gruppe \((S(X),\circ)\), denn:$$(f\circ n)(x)=f(n(x))=f(x)\quad;\quad(n\circ f)(x)=n(f(x))=f(x)$$
4) Existenz eines Inversen Elements.
Da die Funktionen \(S(X)\) per Definition bijektiv sind, sind sie eindeutig umkehrbar. Zu jeder Funktion \(f\in S(X)\) gibt es also eine inverse Funktion \(f^{-1}:X\to X\), die ihrerseits bijektiv ist und damit auch in \(S(X)\) liegt, sodass:$$(f^{-1}\circ f)(x)=x\quad;\quad (f\circ f^{-1})(x)=x$$
Damit ist \((S(X),\circ)\) eine Gruppe.
