2^n <= (n+1)! wenn alle n für N mit n>=1 beweisen, wie genau?

Question

Hi, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: 2^n <= (n+1)! für alle n für N mit n>=1
Ich verstehe es zwar, aber habe leider keine Idee wie ich das Beweisen soll, weil das alles noch sehr neu für mich ist.

Kann mir hier jemand weiter helfen?

Comments

Hallo, du kannst vollständige Induktion mal ausprobieren.

Answer 1

Beweis durch vollständige Induktion.

Ind.Anf. ist klar.

Induktionsschluss:

Multipliziere die Ungleichung 2ⁿ ≤ (n+1)! mit der Ungleichung 2≤n+1. Das ist in der Menge der natürlichen Zahlen erlaubt. Du erhältst 2ⁿ·2 ≤ (n+1)!·(n+2) und formst um zu 2ⁿ⁺¹ ≤ (n+1+1)!.

Answer 2

Aloha :)

Ich würde da gar nicht viel Aufwand machen, sondern die Terme einfach ausschreiben:$$2^n=\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdots 2}_{=n\text{ Faktoren}}\le1\cdot \underbrace{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots(n+1)}_{n\text{ Faktoren}}=(n+1)!$$Jeder Faktor \(2\) auf der linken Seite hat einen Faktor \(\ge2\) auf der rechten Seite.